[35] integral0^pi / 2 tg^2(theta) d theta

Passo 1

A questão pede para calcular a integral imprópria integral0^pi/2tan^2(theta),dtheta. O conteúdo envolve integrais de funções trigonométricas e tratamento de limite quando thetatopi/2, pois tan fica indefinida nesse ponto.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica tan^2(theta)=sec^2(theta)-1. Assim, temos
integral0^pi/2tan^2(theta),dtheta =integral0^pi/2l(sec^2(theta)-1r),dtheta

Passo 3

Agora, calculamos as primitivas:
integralsec^2(theta),dtheta=tan(theta), integral1,dtheta=theta
Logo,
integral0^pi/2l(sec^2(theta)-1r),dtheta =l[tan(theta)-thetar]0^pi/2

Passo 4

Analisamos o limite no extremo superior: quando thetatopi/2^-, tan(theta)to+infty enquanto thetatopi/2 é finito. Isso faz com que o valor da primitiva avaliada em pi/2 seja infinita.

Passo 5

Concluímos que a integral diverge e não converge para um valor finito; ela tende para +infty.

Resposta

A integral diverge para +∞.

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