Uma função
é chamada par se
para todo
em seu domínio, e ímpar se
para cada um destes
. Demonstre cada uma das afirmativas a seguir.
A derivada de uma função ímpar é uma função par.
A derivada de uma função ímpar é uma função par.
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver uma questão sobre funções ímpares e pares e como elas se comportam quando a gente deriva. A parada é a seguinte: se uma função é ímpar, queremos mostrar que a sua derivada é uma função par. Para isso, vamos precisar entender as definições de função ímpar e par e aplicar as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que significa uma função ser ímpar e par. Uma função $ f $ é ímpar se, para todo $ x $ no domínio dela, vale que:
E uma função é par se:
No nosso caso, vamos começar assumindo que $ f $ é ímpar, ou seja, satisfaz $ f(-x) = -f(x) $.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada dessa função $ f $. A derivada de uma função, $ f’(x) $, nos dá a taxa de variação de $ f $ em relação a $ x $. Nosso objetivo é provar que $ f’ $ é uma função par, ou seja, que $ f’(-x) = f’(x) $.
Passo 4
Vamos derivar a equação que define a função ímpar. Começamos com:
Vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a $ x $. Para o lado esquerdo, usamos a regra da cadeia.
Passo 5
Diferenciando o lado esquerdo $ f(-x) $, aplicamos a regra da cadeia:
Para o lado direito $ -f(x) $, a derivada é simplesmente:
Passo 6
Então, temos:
Agora, podemos simplificar ambos os lados dividindo por -1:
Isso mostra que a derivada de $ f $, que é $ f’ $, satisfaz a condição de uma função par.
Resposta
A derivada de uma função ímpar é uma função par.