Uma função f é chamada par se f(-x)=f(x) para todo x em seu domínio, e ímpar se f(-x)=-f(x) para cada um destes x. Demonstre cada uma das afirmativas a seguir.
A derivada de uma função ímpar é uma função par.

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver uma questão sobre funções ímpares e pares e como elas se comportam quando a gente deriva. A parada é a seguinte: se uma função é ímpar, queremos mostrar que a sua derivada é uma função par. Para isso, vamos precisar entender as definições de função ímpar e par e aplicar as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que significa uma função ser ímpar e par. Uma função $ f $ é ímpar se, para todo $ x $ no domínio dela, vale que:
f
E uma função é par se:
x
No nosso caso, vamos começar assumindo que $ f $ é ímpar, ou seja, satisfaz $ f(-x) = -f(x) $.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada dessa função $ f $. A derivada de uma função, $ f’(x) $, nos dá a taxa de variação de $ f $ em relação a $ x $. Nosso objetivo é provar que $ f’ $ é uma função par, ou seja, que $ f’(-x) = f’(x) $.

Passo 4

Vamos derivar a equação que define a função ímpar. Começamos com:
f(-x) = -f(x)
Vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a $ x $. Para o lado esquerdo, usamos a regra da cadeia.

Passo 5

Diferenciando o lado esquerdo $ f(-x) $, aplicamos a regra da cadeia:
f(-x)
Para o lado direito $ -f(x) $, a derivada é simplesmente:
ddxf(-x) = f'(-x) cdot (-1) = -f'(-x)

Passo 6

Então, temos:
-f'(-x) = -f'(x)
Agora, podemos simplificar ambos os lados dividindo por -1:
f'(-x) = f'(x)
Isso mostra que a derivada de $ f $, que é $ f’ $, satisfaz a condição de uma função par.

Resposta

A derivada de uma função ímpar é uma função par.

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