Q 35 Por uma mudança de variável racionalizante, determine as seguintes integrais de funções racionais:
integral 1raiz[6](x-2)^5[raiz[3]x^2-4 x+4-1] d x;

Passo 1

O enunciado pede
integral 1raiz[6](x-2)^5l[raiz[3]x^2-4x+4-1r] ,dx
O conteúdo é integral de função que envolve radicais sobre polinômios, e vamos usar uma mudança de variável que racionalize todos os radicais simultaneamente.

Passo 2

Note que
x^2-4x+4=(x-2)^2,
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raiz[3]x^2-4x+4=(x-2)^2/3, raiz[6](x-2)^5=(x-2)^5/6
A integral fica
integral 1(x-2)^5/6l[(x-2)^2/3-1r] ,dx =integral (x-2)^-5/6(x-2)^4/6-1,dx

Passo 3

Fazemos a substituição racionalizante
t=(x-2)^1/6, então x-2=t^6, dx=6,t^5,dt ã
Em termos de t:
(x-2)^4/6=t^4, (x-2)^-5/6=t^-5,
portanto a integral vira
integral t^-5t^4-1,6,t^5,dt =6integral 1t^4-1,dt

Passo 4

Fazemos frações parciais em
6t^4-1 =6(t-1)(t+1)(t^2+1) =At-1+Bt+1+Ct+Dt^2+1
Encontramos
A=tfrac32, B=-tfrac32, C=0, D=-3
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6t^4-1 =3/2t-1-3/2t+1-3t^2+1

Passo 5

Integramos termo a termo:
6integraldtt^4-1 =32integraldtt-1 -32integraldtt+1 -3integraldtt^2+1
Isso dá
32lnlvert t-1rvert -32lnlvert t+1rvert -3arctan(t) + C

Passo 6

Voltando a x, lembre que t=(x-2)^1/6. Assim a antiderivada é
32ln!gllvert(x-2)^1/6-1(x-2)^1/6+1grrvert -3arctanl((x-2)^1/6r) + C

Resposta

boxed integral dxraiz[6](x-2)^5l[raiz[3]x^2-4x+4-1r] =32ln!gllvert(x-2)^1/6-1(x-2)^1/6+1grrvert -3arctanl((x-2)^1/6r) + C

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