Um projétil penetra numa placa de madeira de 0,1 m de espessura com uma velocidade v0=200 m / s, saindo do outro lado com uma velocidade v1=80 m / s. Supondo que a madeira ofereça uma forca de resistência ao movimento do projétil proporcional ao quadrado da velocidade, determine o tempo que o projétil leva para atravessar a placa de madeira.

Passo 1

O enunciado diz que um projétil atravessa uma placa de madeira de espessura d=0,1,m, entrando com velocidade v0=200,m/s e saindo com v1=80,m/s. A força de resistência é proporcional ao quadrado da velocidade, ou seja,
mdvdt = -k,v^2
Queremos o tempo T que leva para percorrer a placa. Para isso, vamos primeiro relacionar k/m usando a variação de velocidade com o deslocamento.

Passo 2

Como v=dx/dt, temos
dvdx=dv/dtdx/dt=-k,v^2m,v=-km,v
Separamos variáveis e integramos de x=0 (onde v=v0) até x=d (onde v=v1):
integralv0^v1dvv=-kmintegral0^ddx Longrightarrow ln!l(tfracv1v0r)=-km,d
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km=-1dln!l(tfracv1v0r)

Passo 3

Voltando à equação de tempo,
mdvdt=-k,v^2 Longrightarrow dvv^2=-km,dt
Integrando de t=0 ( v=v0) até t=T ( v=v1):
integralv0^v1dvv^2=-kmintegral0^Tdt Longrightarrow l[-1vr]v0^v1=-km,T
1v1-1v0=km,T Longrightarrow T=mkl(1v1-1v0r)
Substituindo tfracmk=1/(k/m) do passo anterior:
T=-dln(v1/v0)l(1v1-1v0r)

Passo 4

Agora colocamos os valores numéricos. Primeiro
ln!l(tfracv1v0r)=ln(0,4)approx -0,91629,
então
-dln(v1/v0)=0,10,91629approx0,10918
E
1v1-1v0=180-1200=0,0125-0,005=0,0075
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Tapprox0,10918times0,0075approx8,18times10^-4 s

Resposta

O tempo que o projétil leva para atravessar a placa é aproximadamente 8,2times10^-4 segundos.

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