Certa quantidade de uma substância contendo 3 kg de água foi colocada dentro de um depósito de 100 m^3 de volume, onde a umidade relativa do ar era inicialmente 25 %. Se no final do 1^circ dia a substância tinha perdido por evaporação metade da água, determine qual a fração da água que restará ao final do 2 을 dia. Em algum momento a água toda evaporará?
Dados: - Durante todo o tempo a temperatura no depósito se manteve a 30^circ C.
  • À temperatura de 30^circ C, o ar saturado contém 0,12 kg de água por m^3.
  • A velocidade de evaporação da água contida numa substância porosa é proporcional à quantidade de água existente na substância e à diferença entre a umidade do ar que a rodeia e a umidade do ar saturado (isto é, diretamente proporcional ao produto destas duas quantidades).

Passo 1

O enunciado pede modelar a evaporação de água de uma substância porosa num depósito de volume 100:m^3 à temperatura constante de 30^circC. Sabemos que a taxa de evaporação é proporcional à massa de água remanescente na substância, W(t), e à diferença entre a umidade de saturação do ar ( Hrm sat) e a umidade atual do ar ( H(t)). Vamos:
1. Definir as variáveis e relacionar a massa de água no ar com W(t).
2. Formular a equação diferencial para W(t).
3. Resolver a equação e usar a condição de que em t=1 dia W caiu de 3:kg para 1,5:kg para determinar a constante de proporcionalidade.
4. Calcular W(2) e a fração remanescente; discutir o limite quando ttoinfty.

Passo 2

Definimos:
bul<=t W(t): massa de água (kg) na substância no instante t (dias).
bul<=t Mrm ar(t): massa de água (kg) presente no ar do depósito em t.
Inicialmente há 25% de umidade relativa, então
Mrm ar(0)=100:m^3timesl(0,25cdot0,12:tfrackgm^3r)=3:kg
Como toda água que evapora da substância vai para o ar,
Mrm ar(t)=3+l(3 - W(t)r)=6 - W(t)
A umidade relativa do ar é H(t)=Mrm ar(t)/(0,12times100)=(6-W)/12, e a umidade de saturação é Hrm sat=1.

Passo 3

Pela hipótese do enunciado,
dWdt = -k,W(t),l[Hrm sat-H(t)r] = -k,W,6+W12
Isso leva à equação diferencial separável
dWW(6+W) = -k12,dt

Passo 4

Integramos:
integraldWW(6+W) = 16integrall(1W-16+Wr)dW =16lnW6+W
Logo
16lnW6+W = -k12,t + C Longrightarrow lnW6+W = -k2,t + C'
Em t=0, W(0)=3 C'=lnl(tfrac39r)=lntfrac13. Então
W6+W = 13e^-,k t/2

Passo 5

Usamos W(1)=1,5. Pela fórmula:
1,56+1,5 = 13e^-k/2 Longrightarrow 0,2 = tfrac13,e^-k/2 Longrightarrow e^-k/2=0,6 Longrightarrow k=-2ln0,6approx1,0217 por dia

Passo 6

Em t=2:
W(2)6+W(2) = 13e^-,kcdot2/2 = 13e^-k = 13e^-1,0217approx0,12
Daí
W(2) = 0,12l(6+W(2)r)Longrightarrow W(2)approx0,8182:kg
A fração remanescente em relação aos 3:kg iniciais é
W(2)3approx0,2727(27,27%)
Quando ttoinfty, do modelo temos W/(6+W)to0, isto é, Wto0. Logo, toda a água acaba evaporando, embora só assintoticamente.

Resposta

A fração de água remanescente ao final do segundo dia é aproximadamente 0,2727 ( 27,27 %).
Sim, toda a água evaporará no limite ttoinfty, mas nunca atinge exatamente zero num tempo finito.

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