Certa quantidade de uma substância contendo 3 kg de água foi colocada dentro de um depósito de
de volume, onde a umidade relativa do ar era inicialmente
. Se no final do
dia a substância tinha perdido por evaporação metade da água, determine qual a fração da água que restará ao final do 2 을 dia. Em algum momento a água toda evaporará?
Dados: - Durante todo o tempo a temperatura no depósito se manteve a
.
- À temperatura de
, o ar saturado contém
de água por
.
- A velocidade de evaporação da água contida numa substância porosa é proporcional à quantidade de água existente na substância e à diferença entre a umidade do ar que a rodeia e a umidade do ar saturado (isto é, diretamente proporcional ao produto destas duas quantidades).
Dados: - Durante todo o tempo a temperatura no depósito se manteve a
Passo 1
O enunciado pede modelar a evaporação de água de uma substância porosa num depósito de volume
à temperatura constante de
. Sabemos que a taxa de evaporação é proporcional à massa de água remanescente na substância,
, e à diferença entre a umidade de saturação do ar (
) e a umidade atual do ar (
). Vamos:
. Definir as variáveis e relacionar a massa de água no ar com
.
. Formular a equação diferencial para
.
. Resolver a equação e usar a condição de que em
dia
caiu de
para
para determinar a constante de proporcionalidade.
. Calcular
e a fração remanescente; discutir o limite quando
.
Passo 2
Definimos:
: massa de água (kg) na substância no instante
(dias).
: massa de água (kg) presente no ar do depósito em
.
Inicialmente há de umidade relativa, então
Inicialmente há
Como toda água que evapora da substância vai para o ar,
A umidade relativa do ar é
, e a umidade de saturação é
.
Passo 3
Pela hipótese do enunciado,
Isso leva à equação diferencial separável
Passo 4
Integramos:
Logo
Em
,
dá
. Então
Passo 5
Usamos
. Pela fórmula:
Passo 6
Em
:
Daí
A fração remanescente em relação aos
iniciais é
Quando
, do modelo temos
, isto é,
. Logo, toda a água acaba evaporando, embora só assintoticamente.
Resposta
A fração de água remanescente ao final do segundo dia é aproximadamente
(
%).
Sim, toda a água evaporará no limite , mas nunca atinge exatamente zero num tempo finito.
Sim, toda a água evaporará no limite