Q 35 Por uma mudança de variável racionalizante, determine as seguintes integrais de funções racionais:
integral x raiz[3](1+x)^2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x raiz[3](1+x)^2 , dx
que equivale a
integral x,(1+x)^2/3,dx
Como há uma raiz de índice 3 em (1+x), vamos usar a mudança de variável racionalizante
t = raiz[3]1+x

Passo 2

Definindo
t = (1+x)^1/3,
temos
1+x = t^3, x = t^3 - 1,
e ao derivar
dx = 3,t^2,dt
Além disso
raiz[3](1+x)^2 = t^2
Substituindo tudo na integral original:

Passo 3

integral x,(1+x)^2/3,dx = integral (t^3 - 1),t^2 ,(3,t^2,dt) = 3integral (t^3 - 1),t^4,dt =3integral (t^7 - t^4),dt
Agora integramos termo a termo:
3integral t^7,dt = 3cdott^88, 3integral t^4,dt = 3cdott^55,
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integral x,(1+x)^2/3,dx = 38,t^8 ;-;35,t^5 + C

Passo 4

Voltando à variável x, lembrando que t=(1+x)^1/3, temos
t^8 = (1+x)^8/3, t^5 = (1+x)^5/3
Portanto a primitiva fica

Resposta

boxed integral x raiz[3](1+x)^2,dx = 38,(1+x)^8/3 - 35,(1+x)^5/3 + C

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