Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo
para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que
:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o menor inteiro positivo
tal que
para todo inteiro
, e depois usar indução (na forma estendida) para provar que a desigualdade vale para todo
.
Passo 2
Para achar
, resolvemos a inequação
O polinômio
tem raízes
isto é,
e
. Como a parábola abre para cima, a desigualdade é satisfeita para
ou para
. Entre os inteiros positivos, o menor valor é
Passo 3
Verificação da base: para
temos
logo a desigualdade vale em
. Em
ela falha (
), confirmando que
é realmente o menor inteiro positivo.
Passo 4
Passo de indução. Suponha que a desigualdade
seja verdadeira para algum inteiro
. Queremos mostrar que vale também para
, isto é,
Começamos calculando o lado esquerdo:
Pela hipótese de indução
, temos
Por outro lado, como
implica
, concluímos
Juntando as duas desigualdades,
ou seja,
como queríamos.
Passo 5
Pelo princípio da indução estendida, a desigualdade
vale para todo inteiro
.