Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo n0 para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que n0 :
(f) n+12 <= n^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o menor inteiro positivo n0 tal que
n + 12 <= n^2
para todo inteiro n >= n0, e depois usar indução (na forma estendida) para provar que a desigualdade vale para todo n >= n0.

Passo 2

Para achar n0, resolvemos a inequação
n^2 - n - 12 >= 0
O polinômio n^2-n-12 tem raízes
n = 1 pm raiz1 + 482 = 1 pm 72,
isto é, n=-3 e n=4. Como a parábola abre para cima, a desigualdade é satisfeita para n <= -3 ou para n >= 4. Entre os inteiros positivos, o menor valor é
n0 = 4

Passo 3

Verificação da base: para n=4 temos
4 + 12 = 16 <= 4^2 = 16,
logo a desigualdade vale em n=4. Em n=3 ela falha ( 3+12=15n<=9), confirmando que n0=4 é realmente o menor inteiro positivo.

Passo 4

Passo de indução. Suponha que a desigualdade
k + 12 <= k^2
seja verdadeira para algum inteiro k >= 4. Queremos mostrar que vale também para k+1, isto é,
(k+1) + 12 <= (k+1)^2
Começamos calculando o lado esquerdo:
(k+1) + 12 = k + 13
Pela hipótese de indução k + 12 <= k^2, temos
k + 13 = (k + 12) + 1 <= k^2 + 1
Por outro lado, como k>=4 implica 2k>=8, concluímos
k^2 + 1 <= k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2
Juntando as duas desigualdades,
k + 13 <= k^2 + 1 <= (k+1)^2,
ou seja,
(k+1) + 12 <= (k+1)^2,
como queríamos.

Passo 5

Pelo princípio da indução estendida, a desigualdade n+12<= n^2 vale para todo inteiro n>= n0=4.

Resposta

n0=4.

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