Q 35 Por uma mudança de variável racionalizante, determine as seguintes integrais de funções racionais:
integral 12 raiz[3]x+raizx d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 12raiz[3]x+raizx;dx
Este é um caso de função racional em potências fracionárias. Para eliminar os radicais, vamos usar uma mudança de variável que torne todas as potências de x inteiras.

Passo 2

Escolhemos
t = x^1/6,
de modo que
x = t^6, dx = 6,t^5,dt, raiz[3]x = (t^6)^1/3 = t^2, raizx = (t^6)^1/2 = t^3

Passo 3

Substituindo na integral, o denominador vira
2raiz[3]x + raizx = 2t^2 + t^3 = t^2,(t+2),
e o diferencial traz um fator 6,t^5. Assim,
integral 12raiz[3]x+raizx;dx = integral 6,t^5t^2,(t+2),dt = integral 6,t^3t+2,dt

Passo 4

Para integrar 6,t^3t+2, fazemos divisão polinomial em t:
t^3t+2 = t^2 - 2t + 4 - 8t+2
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6,t^3t+2 = 6l(t^2 - 2t +4r) - 48t+2

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral 6,t^2,dt = 2,t^3, integral -12,t,dt = -6,t^2, integral 24,dt = 24,t, integral -48t+2,dt = -48lnl|t+2r|
Somando tudo, obtemos a antiderivada em t:
F(t) = 2,t^3 - 6,t^2 + 24,t - 48lnl|t+2r| + C

Passo 6

Voltando à variável x com t = x^1/6, concluímos
F(x) = 2,x^1/2 ;-; 6,x^1/3 ;+; 24,x^1/6 ;-; 48,lnl(x^1/6+2r) + C

Resposta

integral 12raiz[3]x+raizx;dx = 2,x^tfrac12 ;-; 6,x^tfrac13 ;+; 24,x^tfrac16 ;-; 48,ln!l(x^tfrac16+2r) + C

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