Considere a EDO
onde a é um número real não nulo.
a) Como podemos ter
ou
, faça, para cada um destes casos, o esboço das
soluções desta equação sem resolvê-la, encontre suas soluções de equilíbrio e classifique-as em estável, instável ou semi-estável.
b) Para que valores de
a equação apresenta somente dois pontos de equilíbrio estáveis?
a) Como podemos ter
soluções desta equação sem resolvê-la, encontre suas soluções de equilíbrio e classifique-as em estável, instável ou semi-estável.
b) Para que valores de
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial autônoma
onde
. Vamos esboçar as soluções no eixo
(linha de fase), encontrar os pontos de equilíbrio e classificá-los segundo sua estabilidade.
Passo 2
Os pontos de equilíbrio satisfazem
ou seja
e
Logo os equilíbrios são
,
e
.
Passo 3
Para
, o sinal de
é o mesmo de
Em cada intervalo temos:
Assim para
:
- Em ,
(setas para a esquerda).
- Em ,
(setas para a direita).
- Em ,
(setas para a esquerda).
- Em ,
(setas para a direita).
- Em
- Em
- Em
- Em
Dessa forma
: setas divergem (
à esquerda e
à direita)
instável.
: setas convergem (
à esquerda e
à direita)
estável.
: setas divergem (
à esquerda e
à direita)
instável.
Passo 4
Para
, o sinal de
se inverte em relação ao caso anterior. Logo:
: setas convergem
estável.
: setas divergem
instável.
: setas convergem
estável.
Passo 5
A equação terá exatamente dois pontos de equilíbrio estáveis quando
, pois nesse caso
e
são estáveis e
é instável.
Resposta
Somente para
.