Considere a EDO y^prime=a(y^2-1)(y+2) onde a é um número real não nulo.
a) Como podemos ter a>0 ou a<0, faça, para cada um destes casos, o esboço das
soluções desta equação sem resolvê-la, encontre suas soluções de equilíbrio e classifique-as em estável, instável ou semi-estável.
b) Para que valores de a a equação apresenta somente dois pontos de equilíbrio estáveis?

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial autônoma
y' = al(y^2-1r)(y+2),
onde aneq0. Vamos esboçar as soluções no eixo y (linha de fase), encontrar os pontos de equilíbrio e classificá-los segundo sua estabilidade.

Passo 2

Os pontos de equilíbrio satisfazem
al(y^2-1r)(y+2)=0
ou seja
y^2-1=0Longrightarrow y=pm1,
e
y+2=0Longrightarrow y=-2
Logo os equilíbrios são -2, -1 e 1.

Passo 3

Para a>0, o sinal de y' é o mesmo de
(y-1)(y+1)(y+2)
Em cada intervalo temos:
c|cccc y&(-infty,-2)&(-2,-1)&(-1,1)&(1,infty)hline y-1&- &- &- &+ y+1&- &- &+ &+ y+2&- &+ &+ &+hline produto&- &+ &- &+
Assim para a>0:
- Em (-infty,-2), y'<0 (setas para a esquerda).
- Em (-2,-1), y'>0 (setas para a direita).
- Em (-1,1), y'<0 (setas para a esquerda).
- Em (1,infty), y'>0 (setas para a direita).
Dessa forma
-2: setas divergem ( à esquerda e à direita) to instável.
-1: setas convergem ( à esquerda e à direita) to estável.
1: setas divergem ( à esquerda e à direita) to instável.

Passo 4

Para a<0, o sinal de y' se inverte em relação ao caso anterior. Logo:
-2: setas convergem to estável.
-1: setas divergem to instável.
1: setas convergem to estável.

Passo 5

A equação terá exatamente dois pontos de equilíbrio estáveis quando a<0, pois nesse caso -2 e 1 são estáveis e -1 é instável.

Resposta

Somente para a<0.

Exercícios relacionados