Considere a função
f1(x)=l 1 se -L<x<0 1+xL se 0<x<L
Mostre que a série de Fourier associada a f1(x) é dada por
f1(x) sim 54-2pi^2 sumn=1^infty1(2 n-1)^2 cos (2 n-1) pi xL+(-1)^n pi2 n sin n pi xL

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período
e pede sua série de Fourier na forma
Logo o conteúdo é coeficientes de Fourier em ([-L,L]]. Precisamos calcular

Passo 2

Calcular a0.
integral-L^01,dx = L, integral0^Ll(1+xLr),dx = integral0^L1,dx + 1Lintegral0^Lx,dx = L + 1LcdotL^22 = 3L2
Somando e dividindo por L,
a0=1Ll(L + tfrac3L2r)=52,
então o termo constante da série é
a02=54

Passo 3

Calcular an. Dividimos em duas integrais:
I1=integral-L^01cdotcosnpi xL,dx, I2=integral0^Ll(1+xLr)cosnpi xL,dx
Para I1 temos
I1 =[Lnpisinnpi xL]-L^0 =Lnpil(0 - sin(-npi)r) =0
Para I2 separamos
integral0^Lcosnpi xL,dx =0, integral0^Lxcosnpi xL,dx =L^2n^2pi^2l((-1)^n-1r),
logo
I2 =1LcdotL^2n^2pi^2l((-1)^n-1r) =Ln^2pi^2l((-1)^n-1r)
Portanto
an =1L(I1+I2) =(-1)^n-1n^2pi^2 = -dfrac2n^2pi^2, & n ímpar, 0, & n par í

Passo 4

Reescrevendo apenas com n=2m-1 (ímpares),
a2m-1=-2(2m-1)^2pi^2,
e a2m=0. Assim a soma em cossenos vira
sumn=1^inftyancosnpi xL =summ=1^inftyl(-2(2m-1)^2pi^2r) cos(2m-1)pi xL

Passo 5

Calcular bn. Novamente
J1=integral-L^01cdotsinnpi xL,dx =-Lnpil(1-(-1)^nr),
J2=integral0^Ll(1+xLr)sinnpi xL,dx =Lnpil(1-2(-1)^nr)
Logo a integral total é
J1+J2 =-Lnpi(-1)^n,
e
bn =1L(J1+J2) =-(-1)^nnpi =(-1)^n+1npi

Passo 6

Agora a série de Fourier fica
f1(x)sim 54 +sumn=1^inftyancosnpi xL +sumn=1^inftybnsinnpi xL
Substituindo an não nulo apenas para ímpares e bn acima, obtemos
f1(x)sim 54 -2pi^2 summ=1^infty1(2m-1)^2cos(2m-1)pi xL -2pi^2 sumn=1^infty(-1)^npi2nsinnpi xL

Resposta

f1(x)sim 54 -2pi^2 sumn=1^inftygl1(2n-1)^2 cos(2n-1)pi xL +(-1)^npi2n sinnpi xLgr

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