Considere a função
Mostre que a série de Fourier associada a
f1(x) é dada por
f1(x) sim 54-2pi^2 sumn=1^infty1(2 n-1)^2 cos (2 n-1) pi xL+(-1)^n pi2 n sin n pi xL
Passo 1
O enunciado dá a função periódica de período
e pede sua série de Fourier na forma
Logo o conteúdo é coeficientes de Fourier em ([-L,L]]. Precisamos calcular
Passo 2
Calcular
a0 .
Somando e dividindo por
L ,
então o termo constante da série é
Passo 3
Calcular
an . Dividimos em duas integrais:
Para
I1 temos
Para
I2 separamos
logo
Portanto
Passo 4
Reescrevendo apenas com
n=2m-1 (ímpares),
e
a2m=0 . Assim a soma em cossenos vira
Passo 5
Calcular
bn . Novamente
Logo a integral total é
e
Passo 6
Agora a série de Fourier fica
Substituindo
an não nulo apenas para ímpares e
bn acima, obtemos