Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo
para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que
:
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o menor inteiro positivo
tal que
e, a partir daí, usar o método de indução estendida para provar que essa desigualdade vale para todo inteiro
. O conteúdo principal é indução estendida em desigualdades, e vamos precisar também de algumas estimativas elementares para logaritmos.
Passo 2
Definimos a função
A desigualdade
equivale a
. Vamos testar valores inteiros de
começando em
:
Para fica
Para
Para
:
Para
:
Para
:
Para
: usando
obtemos
Logo o primeiro
para o qual
é
.
Passo 3
Mostramos agora que, para todo inteiro
, se
então
. Calculamos a diferença
Isso simplifica para
Passo 4
Para estimar
usamos duas desigualdades padrão para
:
-
implica
- Para
vale , logo
Assim
Portanto
Como
, para todo
temos
Isto mostra que
sempre que
, ou seja, a partir de
a sequência
é estritamente crescente.
Passo 5
Já vimos que
e que para todo
vale
. Por indução estendida concluímos que
para todo inteiro
. Em outras palavras,
Resposta
O menor inteiro positivo que satisfaz a desigualdade é
e por indução estendida mostramos que a sentença é verdadeira para todo inteiro
.