Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo n0 para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que n0 :
(g) n log 2 n+9 <= n^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o menor inteiro positivo n0 tal que
nlog2n + 9 ;<=; n^2
e, a partir daí, usar o método de indução estendida para provar que essa desigualdade vale para todo inteiro n>= n0. O conteúdo principal é indução estendida em desigualdades, e vamos precisar também de algumas estimativas elementares para logaritmos.

Passo 2

Definimos a função
f(n) = n^2 ;-; nlog2n ;-; 9
A desigualdade nlog2n + 9 <= n^2 equivale a f(n)>=0. Vamos testar valores inteiros de n começando em 1:
Para n=1 fica
f(1) = 1 - 1cdotlog21 - 9 = 1 - 0 - 9 = -8 <0
Para n=2:
f(2) = 4 - 2cdot1 - 9 = -7 <0
Para n=3:
f(3) = 9 - 3log23 - 9 = -3log23 <0
Para n=4:
f(4) = 16 - 4cdot2 - 9 = -1 <0
Para n=5: usando log25<3 obtemos
f(5) = 25 - 5log25 - 9 > 25 - 5cdot3 - 9 = 1 > 0
Logo o primeiro n para o qual f(n)>=0 é n0=5.

Passo 3

Mostramos agora que, para todo inteiro k>=5, se f(k)>=0 então f(k+1)>=0. Calculamos a diferença
f(k+1)-f(k) = l[(k+1)^2 - (k+1)log2(k+1) -9r] - l[k^2 - klog2k -9r]
Isso simplifica para
f(k+1)-f(k) = (k+1)^2-k^2 ;-;(k+1)log2(k+1)+klog2k = 2k+1 ;-;l[(k+1)log2(k+1)-klog2kr]

Passo 4

Para estimar (k+1)log2(k+1)-klog2k usamos duas desigualdades padrão para k>=5:
  1. ln(1+1/k)<=1/k implica
klog2l(1+tfrac1kr) = k,ln(1+1/k)ln2 <= 1ln2
  1. Para k>=5 vale k+1<=2^,k-1, logo
log2(k+1)<= k-1
Assim
(k+1)log2(k+1)-klog2k = klog2l(1+tfrac1kr)+log2(k+1) <= 1ln2 + (k-1)
Portanto
f(k+1)-f(k) >= 2k+1 - l(1ln2 + (k-1)r) = k + 2 - 1ln2
Como tfrac1ln2approx1.44, para todo k>=5 temos
k + 2 - 1ln2 >= 5 + 2 - 1.44 = 5.56 > 0
Isto mostra que f(k+1)-f(k)>0 sempre que k>=5, ou seja, a partir de n=5 a sequência f(n) é estritamente crescente.

Passo 5

Já vimos que f(5)>0 e que para todo k>=5 vale f(k+1)>f(k). Por indução estendida concluímos que f(n)>= f(5)>0 para todo inteiro n>=5. Em outras palavras,
nlog2n + 9 ;<=; n^2 para todo (n>=5)

Resposta

O menor inteiro positivo que satisfaz a desigualdade é
n0=5
e por indução estendida mostramos que a sentença é verdadeira para todo inteiro n>=5.

Exercícios relacionados