Q 35 Por uma mudança de variável racionalizante, determine as seguintes integrais de funções racionais:
integral 1x^2 raiz1-x1+x d x;

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral 1x^2raiz1-x1+x,dx
que envolve uma raiz do tipo raiztfrac1-x1+x. Vamos usar a mudança de variável que racionaliza esse radical:
t = raiz1-x1+x

Passo 2

A partir de
t^2=1-x1+x
temos
x=1-t^21+t^2
Derivando em relação a t,
dx = ddtl(1-t^21+t^2r)dt = -4t(1+t^2)^2,dt

Passo 3

Substituindo na integral, observe que
raiz1-x1+x=t, x^2=(1-t^2)^2(1+t^2)^2,
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1x^2raiz1-x1+x,dx = tcdot(1+t^2)^2(1-t^2)^2cdot-4t(1+t^2)^2,dt = -4,t^2(1-t^2)^2,dt
A integral vira
-4integral t^2(1-t^2)^2,dt

Passo 4

Para integrar
integral t^2(1-t^2)^2,dt
escrevemos
t^2(1-t^2)^2 = -(1-t^2)+1(1-t^2)^2 = -11-t^2+1(1-t^2)^2
Então
integral t^2(1-t^2)^2,dt = -integral11-t^2,dt + integral1(1-t^2)^2,dt
Usamos
integral11-t^2,dt =arctanht,
e o resultado conhecido
integral1(1-t^2)^2,dt =12,arctanht +t2(1-t^2) +C
Logo
integral t^2(1-t^2)^2,dt =-arctanht +12,arctanht +t2(1-t^2) +C = -tfrac12,arctanht +t2(1-t^2) +C
Multiplicando por -4, a integral original em t vale
-4integral t^2(1-t^2)^2,dt = 2,arctanht -2t1-t^2 + C

Passo 5

Retornando a x, temos t=raiz1-x1+x e
t1-t^2 =raiz1-x1+x1-1-x1+x =raiz1-x^22x
Portanto a primitiva fica
2,arctanh!l(raiztfrac1-x1+xr) -21cdotraiz1-x^22x + C = 2,arctanh!l(raiztfrac1-x1+xr) -raiz1-x^2x + C

Resposta

integral 1x^2raiz1-x1+x,dx = 2,arctanh!l(raiztfrac1-x1+xr) -raiz1-x^2x + C

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