Q 35 Por uma mudança de variável racionalizante, determine as seguintes integrais de funções racionais:
integral 1x raiz1-x1+x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1xraiz1 - x1 + x,dx
que é uma integral de função racional com raiz de razão. Vamos usar a mudança de variável racionalizante
t = raiz1 - x1 + x,
que transforma a raiz num polinômio em t.

Passo 2

Da definição t = raiz1 - x1 + x segue
1 - x1 + x = t^2 Longrightarrow 1 - x = t^2(1 + x) Longrightarrow x(1 + t^2) = 1 - t^2
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x = 1 - t^21 + t^2
Derivando,
dx = ddtl(1 - t^21 + t^2r),dt = -2t(1 + t^2) - (1 - t^2)2t(1 + t^2)^2,dt = -4t(1 + t^2)^2,dt

Passo 3

Na integral temos
raiz1 - x1 + x = t, 1x = 1 + t^21 - t^2, dx = -4t(1 + t^2)^2,dt
Substituindo,
integral 1x,t,dx = integral 1 + t^21 - t^2;t;l(-4t(1 + t^2)^2r),dt = -4integral t^2(1 - t^2)(1 + t^2),dt = -4integral t^21 - t^4,dt

Passo 4

Para integrar
integral t^21 - t^4,dt
usamos frações parciais. Note que
t^21 - t^4 = 12l(11 - t^2 - 11 + t^2r)
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integral t^21 - t^4,dt = 12integral dt1 - t^2 - 12integral dt1 + t^2 = 14ln1 + t1 - t - 12arctan(t) + C
Multiplicando por -4,
-4integral t^21 - t^4,dt = -ln1 + t1 - t + 2arctan(t) + C

Passo 5

Voltando a x, lembramos que
t = raiz1 - x1 + x
Portanto a integral original é
integral 1xraiz1 - x1 + x,dx = 2arctan!l(raiztfrac1 - x1 + xr) - ln1 + raiztfrac1 - x1 + x 1 - raiztfrac1 - x1 + x + C

Resposta

boxed integral 1xraiz1 - x1 + x,dx = 2arctan!l(raiztfrac1 - x1 + xr) - ln1 + raiztfrac1 - x1 + x 1 - raiztfrac1 - x1 + x + C

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