Suponha que x=x(t) seja uma função derivável até a segunda ordem. Se y=x^3, verifique que d^2 yd t^2=6 x(d xd t)^2+3 x^2 d^2 xd t^2.

Passo 1

O enunciado diz que y=x^3 com x=x(t) duas vezes diferenciável. Para encontrar dfracd^2ydt^2 vamos usar a regra da cadeia (para derivar x^3) e depois a regra do produto (para derivar o resultado).

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada primeira de y em relação a t. Pela regra da cadeia:
dydt = dydx,dxdt = 3,x^2,dxdt

Passo 3

Agora derivamos dfracdydt=3x^2,x' (onde x'=tfracdxdt). Aplicando a regra do produto em 3x^2cdot x':
d^2ydt^2 = ddtl(3x^2r)cdot x' + 3x^2cdotddtl(x'r)
Aqui
ddtl(3x^2r) =3cdot 2xcdot x' =6x;x' e ddtl(x'r) =d^2xdt^2
Substituindo em cima:
d^2ydt^2 =6x,x'cdot x' +3x^2,d^2xdt^2 =6xl(dxdtr)^2 +3x^2,d^2xdt^2

Resposta

d^2ydt^2 =6,xl(dxdtr)^2 +3,x^2,d^2xdt^2

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