Considere f(x) uma função definida no intervalo [-pi, pi] dada por
f(x)=l 0 se -pi<x <= 0 1, se 0<x <= pi
Determine a série de Fourier associada a função f(x) e use o teorema de convergência da série de Fourier, para mostrar que
pi4=sumn=1^infty (-1)^n+12 n-1

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período
e pede a série de Fourier
e depois usar o teorema de convergência (que diz que, em pontos de continuidade, a série converge a (f(x)]) para obter

Para isso vamos precisar das fórmulas

Passo 2

Calculemos a0, an e bn.
Como f(x)=0 em (-pi,0] e f(x)=1 em (0,pi],
a0=1piintegral0^pi1,dx=pipi=1
Para n>=1,
an=1piintegral0^picos(nx),dx =1pi nl[sin(nx)r]0^pi =sin(npi)-0pi n=0,
pois sin(npi)=0.
E
bn=1piintegral0^pisin(nx),dx =1picdot1nl[1-(-1)^nr] =1-(-1)^npi n
Observamos que 1-(-1)^n vale 2 se n é ímpar e 0 se n é par.

Passo 3

Substituindo em
f(x)sim a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r)
obtém-se
f(x)=12+sumk=1^infty2pi(2k-1)sinl((2k-1)xr),
pois somente os n=2k-1 ímpares contribuem.

Passo 4

Pelo teorema de convergência de Fourier, em x=tfracpi2 (ponto de continuidade de f) a série converge a
fl(tfracpi2r)=1. Logo
1 =12+sumk=1^infty2pi(2k-1)sinl((2k-1)pi2r)
Mas sinl((2k-1)tfracpi2r)=(-1)^,k-1. Portanto
1-12 =2pisumk=1^infty(-1)^,k-12k-1,
isto é
12=2pisumk=1^infty(-1)^,k-12k-1 Longrightarrow sumk=1^infty(-1)^k+12k-1=pi4

Resposta

pi4=sumn=1^infty(-1)^n+12n-1

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