I. (0,35) Uma onda em uma corda tem funçâo de onda dada por
y(x, t)=(0,15 m) \cdot \operatorname{sen}\left[\left(3,40 m^{-1}\right) x+\left(1,60 s^{-1}\right) t\right]
a) (0,07) Qual é a amplitude da onda?
b) (0,07) Qual é o período da onda?
c) (0,07) Qual é o comprimento de onda da onda?
d) (0,07) Qual é a velocidade dessa onda?
e) (0,07) Em que sentido ela se propaga?
II. (0,30) Um arame de 50,0 \mathrm{~cm} de comprimento e 20,0 \mathrm{~g} de massa está sob uma tensâo de 80.0 N . As duas extremidades do arame sâo mantidas fixas enquanto ele é beliscado.
a) (0,20) Qual será a velocidade das ondas na corda?
b) (0,05) Qual será a frequência fundamental da onda estacionária produzida?
c) (0,05) Qual será a frequência do terceiro harmônico?

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte I, é dada a função de onda
y(x, t) = (0,15\\ \text{m})\;\operatorname{sen}\bigl[(3,40\\ \text{m}^{-1})\,x + (1,60\\ \text{s}^{-1})\,t\bigr]
e pede amplitude, período, comprimento de onda, velocidade e sentido de propagação. Vamos usar as relações
A,\quad \omega,\quad k,\quad T = \frac{2\pi}{\omega},\quad \lambda = \frac{2\pi}{k},\quad v = \frac{\omega}{k},
e o sinal na fase para o sentido.
Na parte II, temos um arame de comprimento L=0{,}50\\ \text{m}, massa m=0{,}020\\ \text{kg} e tensão F=80{,}0\\ \text{N}. Vamos calcular a velocidade das ondas pela fórmula
v = \sqrt{\frac{F}{\mu}},\quad\mu = \frac{m}{L},
e depois as frequências dos harmônicos, com
f_1 = \frac{v}{2L},\quad f_n = n\,f_1.

Passo 2

Identificamos os parâmetros da onda da parte I: \displaystyle A = 0{,}15\\ \text{m}, \displaystyle k = 3{,}40\\ \text{m}^{-1}, \displaystyle \omega = 1{,}60\\ \text{s}^{-1}.
Logo,
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{1{,}60\\ \text{s}^{-1}}\approx 3{,}93\\ \text{s},
\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{3{,}40\\ \text{m}^{-1}}\approx 1{,}85\\ \text{m},
v = \frac{\omega}{k} = \frac{1{,}60}{3{,}40}\\ \text{m/s}\approx 0{,}471\\ \text{m/s}.
Como a fase é k x + \omega t, a forma padrão é \operatorname{sen}(kx - \omega t) para onda que vai em +x. Logo, aqui a onda se propaga no sentido -x.

Passo 3

Para a parte II, calculamos a densidade linear de massa
\mu = \frac{m}{L} = \frac{0{,}020\\ \text{kg}}{0{,}50\\ \text{m}} = 0{,}040\\ \text{kg/m}.
A velocidade das ondas na corda é
v = \sqrt{\frac{F}{\mu}} = \sqrt{\frac{80{,}0\\ \text{N}}{0{,}040\\ \text{kg/m}}} = \sqrt{2000\\ \text{m}^2/\text{s}^2}\approx 44{,}7\\ \text{m/s}.

Passo 4

Com essa velocidade, a frequência fundamental da onda estacionária (modo n=1) é
f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{44{,}7\\ \text{m/s}}{2\cdot 0{,}50\\ \text{m}} = 44{,}7\\ \text{Hz}.
O terceiro harmônico n=3 tem
f_3 = 3\,f_1 = 3 \cdot 44{,}7\\ \text{Hz} = 134{,}1\\ \text{Hz}.

Resposta

a) A = 0{,}15\\ \text{m}.
b) T = 3{,}93\\ \text{s}.
c) \lambda = 1{,}85\\ \text{m}.
d) v = 0{,}471\\ \text{m/s}.
e) Propaga-se no sentido negativo de x.
II a) v = 44{,}7\\ \text{m/s}.
II b) f_1 = 44{,}7\\ \text{Hz}.
II c) f_3 = 134{,}1\\ \text{Hz}.

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