( 35 Pontos) Considere o problema de determinar de forma aproximada a raiz cúbica de um número a qualquer, isto é, \sqrt[3]{a}.
(a) Utilizando 0 método de Newton desenvolva uma fórmula para aproximar o valor da raiz cúbica de a.
(b) Utilizando a fórmula desenvolvida, considere x_{0}=1.3 como aproximação inicial e realize 3 iterações (do método de Newton) para determinar uma aproximação para \sqrt[3]{5}.
(c) Qual o erro absoluto cometido na aproximação?

Passo 1

O enunciado pede três coisas bem claras:
  1. (a) Desenvolver, pelo método de Newton, uma fórmula iterativa para aproximar a raiz cúbica de um número arbitrário a, ou seja \sqrt[3]{a}.
  2. (b) A partir da fórmula obtida, usar x_{0}=1{,}3 como aproximação inicial e realizar 3 iterações para aproximar \sqrt[3]{5}.
  3. (c) Calcular o erro absoluto da aproximação resultante (diferença entre a aproximação depois de 3 iterações e o valor real \sqrt[3]{5}).
Informações dadas:
  • Queremos a raiz de x^3-a=0 para a genérico (no item (b) usamos a=5).
  • Aproximação inicial fornecida: x_0=1{,}3.
  • Precisamos fazer 3 iterações do método de Newton e fornecer o erro absoluto.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Ideia do método de Newton (mini-aula): para encontrar uma raiz da equação f(x)=0 com f diferenciável, a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui fazemos uma interpretação geométrica: em torno de x_n aproximamos f por sua reta tangente e usamos a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação. Essa fórmula converte-se numa sequência \{x_n\} que — sob condições razoáveis — converge rapidamente para a raiz.

Passo 3

Aplicando o método ao nosso problema: queremos \sqrt[3]{a}, ou seja a raiz de
f(x)=x^3-a.
Calculamos a derivada:
f'(x)=3x^2.
Substituindo na fórmula de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3-a}{3x_n^2}.
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo (isso é importante para usar na prova sem repetir derivação):
Começando por
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3-a}{3x_n^2} = x_n - \frac{1}{3}\left(\frac{x_n^3-a}{x_n^2}\right).
Dividindo o numerador x_n^3-a por x_n^2 x_n - \dfrac{a}{x_n^2}. Então
x_{n+1}=x_n - \frac{1}{3}\left(x_n - \frac{a}{x_n^2}\right).
Distribuindo \frac{1}{3} e juntando termos:
x_{n+1}=\frac{2}{3}x_n + \frac{1}{3}\cdot\frac{a}{x_n^2}.
Escrevendo de forma mais prática:
\boxed{\,x_{n+1}=\frac{2x_n+\dfrac{a}{x_n^2}}{3}\,}
Essa é a fórmula iterativa que vamos usar (resposta do item (a)).

Passo 4

Preparação para as iterações (mini-aula prática sobre cálculo sem calculadora):
  • Em provas, calcule x_n^2 e depois a/x_n^2. Somar 2x_n + a/x_n^2 e dividir por 3 x_{n+1}.
  • Vou mostrar cada conta com casas decimais suficientes para manter precisão razoável.
Começamos com a=5 e x_0=1{,}3.
Calcule x_0^2:
x_0^2=(1{,}3)^2=1{,}69.
Calcule \dfrac{a}{x_0^2}=\dfrac{5}{1{,}69}. Para dividir manualmente:
\frac{5}{1{,}69}=\frac{500}{169}=2{,}9585798816568047\ldots
(essa fração é exata: 500/169; escrevo o decimal com muitas casas para manter precisão).
Agora aplique a fórmula
x_1=\frac{2x_0+\dfrac{a}{x_0^2}}{3}=\frac{2\cdot 1{,}3 + 2{,}9585798816568047}{3} =\frac{2{,}6 + 2{,}9585798816568047}{3} =\frac{5{,}558579881656805}{3}.
Dividindo:
x_1 \approx 1{,}8528599605522683.

Passo 5

Agora a segunda iteração: calcule x_1^2 e a/x_1^2.
Primeiro x_1^2. Usando x_1\approx 1{,}8528599605522683,
x_1^2 \approx 1{,}8528599605522683^2 \approx 3{,}433090025\\ (\text{arredondado a 9 dígitos}).í
Agora
\frac{a}{x_1^2}=\frac{5}{3{,}433090025}\approx 1{,}456120986.
Aplicando a fórmula:
x_2=\frac{2x_1+\dfrac{a}{x_1^2}}{3}=\frac{2\cdot 1{,}8528599605522683 + 1{,}456120986}{3} =\frac{3{,}7057199211045366 + 1{,}456120986}{3} =\frac{5{,}1618409071045366}{3}.
Dividindo:
x_2 \approx 1{,}7206136357015122.

Passo 6

Terceira iteração: calcule x_2^2 e a/x_2^2.
Com x_2\approx 1{,}7206136357015122,
x_2^2 \approx 1{,}7206136357015122^2 \approx 2{,}960511239903024.
Logo
\frac{a}{x_2^2}=\frac{5}{2{,}960511239903024}\approx 1{,}68870580082\\ (\text{aprox.}).
Aplicando a fórmula:
x_3=\frac{2x_2+\dfrac{a}{x_2^2}}{3} =\frac{2\cdot 1{,}7206136357015122 + 1{,}68870580082}{3} =\frac{3{,}4412272714030244 + 1{,}68870580082}{3} =\frac{5{,}1299330722230244}{3}.
Dividindo:
x_3 \approx 1{,}7099776907410081.
Esses são os três passos do método de Newton partindo de x_0=1{,}3: x_1, x_2, x_3.

Passo 7

Agora o erro absoluto (mini-aula sobre erro):
  • O erro absoluto entre uma aproximação x e o valor exato r é |x-r|.
  • O valor real \sqrt[3]{5} (com precisão suficiente para calcular o erro) é aproximadamente
\sqrt[3]{5}\approx 1{,}709975946676697.
Comparando com x_3\approx 1{,}7099776907410081, o erro absoluto é
|x_3-\sqrt[3]{5}|\approx |1{,}7099776907410081 - 1{,}709975946676697| \approx 0{,}0000017440643111.
Ou seja, aproximadamente 1{,}744\times 10^{-6}.

Passo 8

Resumo final e incentivo: conseguimos, em apenas três iterações do método de Newton partindo de x_0=1{,}3, uma aproximação de \sqrt[3]{5} com erro da ordem de 10^{-6}. Newton converge rápido: na prova, use a fórmula derivada, calcule x_n^2, depois a/x_n^2 e obtenha x_{n+1} — repita o processo o número de vezes que couber. Você mandou bem por pedir passo a passo — isso é o que cai na prova!

Resposta

(a) x_{n+1}=\frac{2x_n+\dfrac{a}{x_n^2}}{3}.
(b) \;x_1\approx 1{,}8528599605522683,\quad x_2\approx 1{,}7206136357015122,\quad x_3\approx 1{,}7099776907410081.
(c) \;|x_3-\sqrt[3]{5}|\approx 0{,}0000017440643111 (aprox. 1{,}744\times 10^{-6}).

Exercícios relacionados