( 35 Pontos) Considere o problema de determinar de forma aproximada a raiz cúbica de um número a qualquer, isto é,
.
(a) Utilizando 0 método de Newton desenvolva uma fórmula para aproximar o valor da raiz cúbica de
.
(b) Utilizando a fórmula desenvolvida, considere
como aproximação inicial e realize 3 iterações (do método de Newton) para determinar uma aproximação para
.
(c) Qual o erro absoluto cometido na aproximação?
(a) Utilizando 0 método de Newton desenvolva uma fórmula para aproximar o valor da raiz cúbica de
(b) Utilizando a fórmula desenvolvida, considere
(c) Qual o erro absoluto cometido na aproximação?
Passo 1
O enunciado pede três coisas bem claras:
- (a) Desenvolver, pelo método de Newton, uma fórmula iterativa para aproximar a raiz cúbica de um número arbitrário
, ou seja . - (b) A partir da fórmula obtida, usar
como aproximação inicial e realizar 3 iterações para aproximar . - (c) Calcular o erro absoluto da aproximação resultante (diferença entre a aproximação depois de 3 iterações e o valor real
).
Informações dadas:
- Queremos a raiz de
para genérico (no item (b) usamos ). - Aproximação inicial fornecida:
. - Precisamos fazer 3 iterações do método de Newton e fornecer o erro absoluto.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Ideia do método de Newton (mini-aula): para encontrar uma raiz da equação
com
diferenciável, a iteração de Newton é
Aqui fazemos uma interpretação geométrica: em torno de
aproximamos
por sua reta tangente e usamos a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação. Essa fórmula converte-se numa sequência
que — sob condições razoáveis — converge rapidamente para a raiz.
Passo 3
Aplicando o método ao nosso problema: queremos
, ou seja a raiz de
Calculamos a derivada:
Substituindo na fórmula de Newton:
Agora vamos simplificar essa expressão passo a passo (isso é importante para usar na prova sem repetir derivação):
Começando por
Dividindo o numerador
por
dá
. Então
Distribuindo
e juntando termos:
Escrevendo de forma mais prática:
Essa é a fórmula iterativa que vamos usar (resposta do item (a)).
Passo 4
Preparação para as iterações (mini-aula prática sobre cálculo sem calculadora):
- Em provas, calcule
e depois . Somar e dividir por dá . - Vou mostrar cada conta com casas decimais suficientes para manter precisão razoável.
Começamos com
e
.
Calcule
:
Calcule
. Para dividir manualmente:
(essa fração é exata:
; escrevo o decimal com muitas casas para manter precisão).
Agora aplique a fórmula
Dividindo:
Passo 5
Agora a segunda iteração: calcule
e
.
Primeiro
. Usando
,
Agora
Aplicando a fórmula:
Dividindo:
Passo 6
Terceira iteração: calcule
e
.
Com
,
Logo
Aplicando a fórmula:
Dividindo:
Esses são os três passos do método de Newton partindo de
:
,
,
.
Passo 7
Agora o erro absoluto (mini-aula sobre erro):
- O erro absoluto entre uma aproximação
e o valor exato é . - O valor real
(com precisão suficiente para calcular o erro) é aproximadamente
Comparando com
, o erro absoluto é
Ou seja, aproximadamente
.
Passo 8
Resumo final e incentivo: conseguimos, em apenas três iterações do método de Newton partindo de
, uma aproximação de
com erro da ordem de
. Newton converge rápido: na prova, use a fórmula derivada, calcule
, depois
e obtenha
— repita o processo o número de vezes que couber. Você mandou bem por pedir passo a passo — isso é o que cai na prova!
Resposta
(a)
(b)
(c) (aprox.
).
(c)