(35 Pontos) Seja a função f(x)=\sqrt{(1+x)} no intervalo I=[0,1].
(a) Escreva o polinômio de Taylor cúbico que aproxima f(x) em torno do ponto a=0.
(b) Calcule o valor aproximado de f(x) em x=0.1.
(c) Calcule o erro relativo ao utilizar o polinōmio de Taylor em x=0.1.
(d) Determine um limitante superior para o erro cometido ao se aproximar f(x) pelo polinómio de Taylor no ponto x=0.1. Lembre-se que o limitante superior do erro para P_{n}(x) é dado por
Antes de montar o polinômio precisamos das derivadas de f(x)=(1+x)^{1/2} avaliadas em a=0. Vou derivar passo a passo usando a regra da potência: se g(x)=(1+x)^{m} então g'(x)=m(1+x)^{m-1}.
Agora avalio as três primeiras derivadas em a=0 (precisamos até a de terceira ordem para o polinômio cúbico):
f(0)=(1+0)^{1/2}=1,
f'(0)=\tfrac{1}{2}(1+0)^{-1/2}=\tfrac{1}{2},
f''(0)=-\tfrac{1}{4}(1+0)^{-3/2}=-\tfrac{1}{4},
f^{(3)}(0)=\tfrac{3}{8}(1+0)^{-5/2}=\tfrac{3}{8}.
Expliquei a regra da potência e como apliquei para obter cada derivada; se quiser posso mostrar um exemplo extra com outro expoente, mas por agora vamos usar esses valores.
Passo 3
Agora usamos a fórmula do polinômio de Taylor de grau 3 centrado em a=0:
Se preferir a forma percentual, isso equivale a aproximadamente 0,000348\%, mas o pedido era erro relativo (valor adimensional).
Passo 6
Agora uso o limitante superior do resto de Taylor pedido no enunciado para obter uma cota para o erro em x=0,1. Estamos usando n=3, então precisamos de M_{4}=\max_{t\in[0,0,1]}\left|f^{(4)}(t)\right|.
No intervalo t\in[0,0,1]=[0,0,1] (note que avaliamos até x=0,1, então o intervalo relevante é [0,0,1] — aqui o segundo ponto é x=0,1), a função (1+t)^{-7/2} é decrescente quando t cresce (expoente negativo), portanto o máximo ocorre em t=0. Assim
Observação final: esse limitante é um pouco maior que o erro real calculado anteriormente (\approx 3,65183\cdot 10^{-6}), como deve ser — o resto fornece uma cota segura.