(30 Pontos) Considere uma máquina cuja representação de números é dada por um sistema de ponto flutuante F(10,3,-2,2), isto é, base decimal, 3 dígitos na mantissa e expoente no intervalo [-2,2].
(a) Qual o menor (m) número positivo representável nesta máquina?
(b) Qual o maior ( M ) número positivo representável nesta máquina?
(c) O que ocorre ao representar os números x_{1}=0.01234 e x_{2}=1024.5 nessa máquina?
(d) Quantos números positivos podem ser representados nessa máquina?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre a máquina de ponto flutuante F(10,3,-2,2):
  • (a) o menor número positivo representável m;
  • (b) o maior número positivo representável M;
  • (c) o que ocorre ao representar x_{1}=0.01234 e x_{2}=1024.5 nessa máquina;
  • (d) quantos números positivos podem ser representados.
Informações dadas (relevantes):
  • base \beta = 10;
  • precisão (número de dígitos na mantissa) t = 3;
  • intervalo de expoentes e \in \{-2,-1,0,1,2\} (ou seja, e_{\min}=-2 e e_{\max}=2).

Passo 2

Entendendo o formato de números desta máquina (explicação didática):
  • Nesta máquina os números (não nulos) são escritos na forma normalizada \pm d_1.d_2d_3 \times 10^{e},onde d_1 \in \{1,2,\dots,9\} (o primeiro dígito não pode ser zero) e d_2,d_3 \in \{0,1,\dots,9\}. Aqui:
    • d_1.d_2d_3 é a mantissa com exatamente t=3 dígitos significativos;
    • e é o expoente inteiro com -2 \le e \le 2.
  • Por que normalizar? Para garantir representação única: o primeiro dígito da mantissa é diferente de zero.
  • Arredondamento: quando um número real tem mais de 3 dígitos significativos, na representação da máquina devemos arredondar (normalmente para o mais próximo) ou truncar conforme regra do problema; aqui usaremos o arredondamento usual (arredonda para o mais próximo, e se exatamente no meio normalmente empata-se por regra específica — mas não ocorrerá nos exemplos abaixo).
  • Quando o expoente necessário para representar um número está fora do intervalo [-2,2], dizemos que há overflow (número muito grande para a máquina) ou underflow (muito pequeno). Não há indicação de subnormais nessa especificação, então assumimos que só existem os números normalizados acima.

Passo 3

Cálculo do menor número positivo representável m:
  • O menor mantissa normalizada possível é 1.00 (porque d_1=1 e d_2=d_3=0).
  • Usando o menor expoente e_{\min}=-2, o menor número positivo é m = 1{,}00 \times 10^{-2}.
  • Calculando: m = 1{,}00 \times 10^{-2} = 10^{-2} = 0{,}01.

Passo 4

Cálculo do maior número positivo representável M:
  • A maior mantissa possível com 3 dígitos é 9{,}99 (todos os dígitos iguais a 9).
  • Usando o maior expoente e_{\max}=2, o maior número é M = 9{,}99 \times 10^{2}.
  • Calculando: M = 9{,}99 \times 10^{2} = 9{,}99 \times 100 = 999.

Passo 5

Representação de x_{1}=0{,}01234:
  • Primeiro escrevo x_{1} em forma normalizada (notação científica): 0{,}01234 = 1{,}234 \times 10^{-2}.
  • Precisamos de apenas 3 dígitos na mantissa; a mantissa atual tem 4 dígitos ( 1{,}234). Arredondando para 3 dígitos significativos (o quarto dígito é 4<5, então truncamos sem aumentar): 1{,}234 \mapsto 1{,}23.
  • Assim a representação na máquina é x_{1,\text{máq}} = 1{,}23 \times 10^{-2} = 0{,}0123.á
  • Observação didática: o expoente necessário é -2, que está dentro do intervalo permitido, então não há underflow; apenas ocorre arredondamento por precisão.

Passo 6

Representação de x_{2}=1024{,}5:
  • Primeiro escrever em forma normalizada: 1024{,}5 = 1{,}0245 \times 10^{3}.
  • O expoente necessário é e=3, mas a máquina só permite expoentes até e_{\max}=2.
  • Conclusão: não é possível representar x_{2} como um número normalizado nesta máquina — ocorre overflow. Em termos práticos, x_{2} é maior que o maior número representável M=999, portanto a máquina sinaliza overflow (ou, dependendo da implementação, resulta em infinito ou em erro). Não existe uma representação normalizada exata dentro de F(10,3,-2,2).

Passo 7

Quantos números positivos podem ser representados nesta máquina?
  • Contagem das mantissas normalizadas:
    • d_1 tem 9 possibilidades ( 1 a 9);
    • d_2 tem 10 possibilidades ( 0 a 9);
    • d_3 tem 10 possibilidades ( 0 a 9).
    • Portanto há 9 \times 10 \times 10 = 900 mantissas possíveis.
  • Contagem dos expoentes:
    • e pode assumir 5 valores: -2,-1,0,1,2.
  • Cada combinação mantissa–expoente dá um número positivo distinto, logo o total de números positivos representáveis é 900 \times 5 = 4500.
  • Observação: isso não conta o zero (que é geralmente representado à parte) nem sinais negativos; a pergunta pedia apenas números positivos.

Resposta

(a) m = 1{,}00\times 10^{-2} = 0{,}01
(b) M = 9{,}99\times 10^{2} = 999
(c) x_{1} é arredondado para 1{,}23\times 10^{-2}=0{,}0123; x_{2} causa overflow (não é representável, pois exige e=3)
(d) 4500

Exercícios relacionados