(35 Pontos) Considere o seguinte conjunto de dados:
|c|c|c|c|c| hline$x$ & 0.1 & 0.25 & 0.75 & 1 hline$u(x)$ & 0.002 & 0.03125 & 0.84375 & 2 hline 0.1 0.25 0.75 1
g(x)=a x^b 0.002 0.03125 0.84375 2
Use o método dos mínimos quadrados para aproximar os dados por uma função . Isto é, faça:
(b) monte e resolva o sistema de equações normais;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de dados com valores de $ x $ e $ u(x) $ e queremos encontrar uma função da forma $ g(x) = a x^{b} $ que melhor aproxima esses dados usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, vamos precisar montar e resolver o sistema de equações normais, que é a base para encontrar os melhores parâmetros $ a $ e $ b $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o método dos mínimos quadrados. Basicamente, ele busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados $ u(x) $ e os valores estimados pela função $ g(x) $. Isso nos dá uma forma de encontrar os melhores $ a $ e $ b $ que tornam nossa função o mais próxima possível dos dados.

Passo 3

Como a função que estamos usando é $ g(x) = a x^{b} $, vamos aplicar um truque para facilitar os cálculos: tirar o logaritmo de ambos os lados da equação. Assim, temos:
g(x) = a x^b
Vamos chamar $ Y = \ln u(x) $, $ A = \ln a $ e $ B = b $. Então, a equação fica:
ln g(x) = ln (a x^b) = ln a + b ln x
Agora, nosso objetivo é ajustar uma linha $ Y = A + B X $, onde $ X = \ln x $, usando os mínimos quadrados.

Passo 4

Vamos transformar os dados originais aplicando o logaritmo natural a ambos os lados:
Yi = ln u(xi), Xi = ln xi
Calculando para cada ponto:
x1 = 0.1 &Rightarrow X1 = ln(0.1) approx -2.3026, Y1 = ln(0.002) approx -6.2146 x2 = 0.25 &Rightarrow X2 = ln(0.25) approx -1.3863, Y2 = ln(0.03125) approx -3.4657 x3 = 0.75 &Rightarrow X3 = ln(0.75) approx -0.2877, Y3 = ln(0.84375) approx -0.1699 x4 = 1 &Rightarrow X4 = ln(1) = 0, Y4 = ln(2) approx 0.6931

Passo 5

Agora, precisamos montar o sistema de equações normais para ajustar a linha $ Y = A + B X $. As equações normais são dadas por:
Y = A + B X
Onde $ n $ é o número de pontos de dados. Vamos calcular cada soma:
nA + B sum Xi = sum Yi A sum Xi + B sum Xi^2 = sum Xi Yi

Passo 6

Substituindo esses valores nas equações normais:
4A - 3.9766B = -9.1471 -3.9766A + 7.3075B = 19.1415
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas $ A $ e $ B $.

Passo 7

Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou usar a eliminação aqui.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 3.9766 para igualar os coeficientes de $ A $:
A
Então, a primeira equação fica:
4A times 3.9766 = 15.9064A -3.9766B times 3.9766 = -15.8062B -9.1471 times 3.9766 = -36.3731
Agora, multiplicamos a segunda equação por 4 para igualar os coeficientes de $ A $:
15.9064A - 15.8062B = -36.3731
A segunda equação fica:
A

Passo 8

Agora, somamos as duas equações para eliminar $ A $:
A
As $ A $ se cancelam:
(15.9064A - 15.8062B) + (-15.9064A + 29.23B) = -36.3731 + 76.566
Então, isolando $ B $:
A

Passo 9

Com o valor de $ B $, substituímos na primeira equação original para encontrar $ A $:
B
Calculando:
A

Passo 10

Lembrando que $ A = \ln a $ e $ B = b $, então:
A = ln a
B = b

Resposta

A função que aproxima os dados pelo método dos mínimos quadrados é:
g(x) approx 1.990 , x^2.992

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