(35 Pontos) Considere o seguinte conjunto de dados:
0.1
0.25
0.75
1
0.002
0.03125
0.84375
2
Use o método dos mínimos quadrados para aproximar os dados por uma função
. Isto é, faça:
(b) monte e resolva o sistema de equações normais;
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0.1 | 0.25 | 0.75 | 1 |
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0.002 | 0.03125 | 0.84375 | 2 |
(b) monte e resolva o sistema de equações normais;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de dados com valores de $ x $ e $ u(x) $ e queremos encontrar uma função da forma $ g(x) = a x^{b} $ que melhor aproxima esses dados usando o método dos mínimos quadrados. Para isso, vamos precisar montar e resolver o sistema de equações normais, que é a base para encontrar os melhores parâmetros $ a $ e $ b $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o método dos mínimos quadrados. Basicamente, ele busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados $ u(x) $ e os valores estimados pela função $ g(x) $. Isso nos dá uma forma de encontrar os melhores $ a $ e $ b $ que tornam nossa função o mais próxima possível dos dados.
Passo 3
Como a função que estamos usando é $ g(x) = a x^{b} $, vamos aplicar um truque para facilitar os cálculos: tirar o logaritmo de ambos os lados da equação. Assim, temos:
Vamos chamar $ Y = \ln u(x) $, $ A = \ln a $ e $ B = b $. Então, a equação fica:
Agora, nosso objetivo é ajustar uma linha $ Y = A + B X $, onde $ X = \ln x $, usando os mínimos quadrados.
Passo 4
Vamos transformar os dados originais aplicando o logaritmo natural a ambos os lados:
Calculando para cada ponto:
Passo 5
Agora, precisamos montar o sistema de equações normais para ajustar a linha $ Y = A + B X $. As equações normais são dadas por:
Onde $ n $ é o número de pontos de dados. Vamos calcular cada soma:
Passo 6
Substituindo esses valores nas equações normais:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas $ A $ e $ B $.
Passo 7
Vamos resolver esse sistema. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou usar a eliminação aqui.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 3.9766 para igualar os coeficientes de $ A $:
Então, a primeira equação fica:
Agora, multiplicamos a segunda equação por 4 para igualar os coeficientes de $ A $:
A segunda equação fica:
Passo 8
Agora, somamos as duas equações para eliminar $ A $:
As $ A $ se cancelam:
Então, isolando $ B $:
Passo 9
Com o valor de $ B $, substituímos na primeira equação original para encontrar $ A $:
Calculando:
Passo 10
Lembrando que $ A = \ln a $ e $ B = b $, então:
Resposta
A função que aproxima os dados pelo método dos mínimos quadrados é: