(35 Pontos) Considere o seguinte conjunto de dados:
|c|c|c|c|c| hline$x$ & 0.1 & 0.25 & 0.75 & 1 hline$u(x)$ & 0.002 & 0.03125 & 0.84375 & 2 hline 0.1 0.25 0.75 1
g(x)=a x^b 0.002 0.03125 0.84375 2
Use o método dos mínimos quadrados para aproximar os dados por uma função . Isto é, faça:
(a) uma linearização do problema para utilizar o método dos mínimos quadrados na sua forma linear;

Passo 1

Beleza, temos quatro pares g(x)=a,x^b e queremos aproximar por
Usaremos mínimos quadrados, mas o modelo não é linear em e . Para contornar isso, vamos linearizar: aplicar log em ambos os lados transforma em um problema de ajuste de reta. Então o conteúdo é Regressão Linear e Propriedades de Logaritmo.

Passo 2

Vamos fazer a mágica do log:
  1. Definimos
Xi = ln(xi), Yi = lnl(uir)
  1. Tomando log em ln u = ln a + b,ln x
Y = A + b,X,
Ou seja, escrevendo , nosso modelo vira
que é uma reta em . Aí sim podemos usar mínimos quadrados na forma clássica (achar e que minimizam ).

Resposta

Após a linearização, o problema fica
boxedY = A + b,X,onde X=ln x,;Y=ln u,;A=ln a

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