(35 Pontos) Considere o seguinte conjunto de dados:
|c|c|c|c|c| hline$x$ & 0.1 & 0.25 & 0.75 & 1 hline$u(x)$ & 0.002 & 0.03125 & 0.84375 & 2 hline 0.1 0.25 0.75 1
g(x)=a x^b 0.002 0.03125 0.84375 2
Use o método dos mínimos quadrados para aproximar os dados por uma função a. Isto é, faça:
© apresente os valores dos coeficientes b e g(x) que determinam a função .

Passo 1

Beleza, o exercício diz que a gente tem 4 pontos
x: 0.1, 0.25, 0.75, 1
u(x): 0.002, 0.03125, 0.84375, 2
e quer aproximar esses dados por uma função da forma
g(x)=a,x^b
usando mínimos quadrados.
Isso faz parte de Regressão e Ajuste de Curvas: como o modelo é não-linear em , a gente “lineariza” aplicando logaritmo e resolve como se fosse uma reta. Vamos precisar de:
- Propriedade de logaritmo: .
- Fórmulas de regressão linear (coeficiente angular e linear).

Passo 2

Primeiro a gente transforma os dados definindo
yi = lnl(uir), zi = lnl(xir)
Assim o modelo vira
y = A + B,z,
onde c|c|c|c i & xi & zi=ln xi & yi=ln uihline 1 & 0.10 & -2.302585 & -6.214608 2 & 0.25 & -1.386294 & -3.465736 3 & 0.75 & -0.287682 & -0.169900 4 & 1.00 & 0.000000 & 0.693147 e .
Vamos montar uma tabelinha com , , e :

Passo 3

Agora calculamos as médias
bar z = 14sumi=1^4 zi = -0.99414, bar y = 14sumi=1^4 yi = -2.28927
E em seguida o coeficiente angular B ;=; sumi (zi-bar z)(yi-bar y)sumi (zi-bar z)^2 ;approx;10.06273.3522 ;=;3.003 (a fórmula vem de mínimos quadrados para reta):

Passo 4

Com A = bar y - B,bar z ;approx;-2.28927 - 3.003cdot(-0.99414) ;=;0.69541 em mãos, o coeficiente linear a = e^A ;approx; e^0.69541;=;2.004 é
Lembra que , então para voltar a a gente faz exponencial:

Resposta

Os valores aproximados dos coeficientes são
a approx 2.00, b approx 3.00

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