Calcule os seguintes limites:
g) \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{2} 2 t}{t^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{t\to 0}\frac{\sin^{2}(2t)}{t^{2}}.
Informações dadas: a expressão envolve a função seno elevada ao quadrado com argumento 2t e o denominador é t^{2}. O objetivo é encontrar o valor numérico do limite quando t tende a zero.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de forma a usar um limite básico conhecido ( \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1). Observação:
\frac{\sin^{2}(2t)}{t^{2}}=\left(\frac{\sin(2t)}{t}\right)^{2}.
Agora fatoramos um 2 dentro do denominador:
\left(\frac{\sin(2t)}{t}\right)^{2}=\left(\frac{\sin(2t)}{2t}\cdot 2\right)^{2}=\left(\frac{\sin(2t)}{2t}\right)^{2}\cdot 4.

Passo 3

Precisamos do resultado \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1. Vou explicar por que isso vale (argumento do aperto/squeeze, em linguagem direta):
Para x pequeno e positivo ( 0<x<\tfrac{\pi}{2}) vale a desigualdade geométrica
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1.
Isso vem das relações \sin x < x < \tan x (comparando arcos e triângulos no círculo trigonométrico) e manipulação algébrica simples. Como \lim_{x\to 0}\cos x = 1, pelo teorema do aperto segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Para x negativo a mesma conclusão vale por paridade (o quociente é função par próxima de zero). Então esse limite básico é válido.

Passo 4

Aplicando esse resultado ao nosso caso, faça a substituição x=2t. Quando t\to 0 temos x=2t\to 0, logo
\lim_{t\to 0}\frac{\sin(2t)}{2t}=1.
Portanto
\lim_{t\to 0}\left(\frac{\sin(2t)}{2t}\right)^{2}=1^{2}=1.
Multiplicando pelo 4 que ficou no Passo 2:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin^{2}(2t)}{t^{2}}=4.

Resposta

4

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