Calcule os seguintes limites:
g)
g)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão envolve a função seno elevada ao quadrado com argumento
e o denominador é
. O objetivo é encontrar o valor numérico do limite quando
tende a zero.
Passo 2
Reescrevemos a expressão de forma a usar um limite básico conhecido (
). Observação:
Agora fatoramos um
dentro do denominador:
Passo 3
Precisamos do resultado
. Vou explicar por que isso vale (argumento do aperto/squeeze, em linguagem direta):
Para
pequeno e positivo (
) vale a desigualdade geométrica
Isso vem das relações
(comparando arcos e triângulos no círculo trigonométrico) e manipulação algébrica simples. Como
, pelo teorema do aperto segue que
Para
negativo a mesma conclusão vale por paridade (o quociente é função par próxima de zero). Então esse limite básico é válido.
Passo 4
Aplicando esse resultado ao nosso caso, faça a substituição
. Quando
temos
, logo
Portanto
Multiplicando pelo
que ficou no Passo 2:
Resposta
4