Questão 3. (4.5 pontos) Indentifique, descreva analiticamente e faça um esboço da curva obtida pela interseção da quádrica e do plano indicado em cada item.
; plano
.
Passo 1
O enunciado dá a quádricula (paraboloide elíptico)
e o plano
O que a questão pede: identificar que tipo de curva é a interseção entre a quádricula e o plano, descrever essa curva analiticamente (equação canônica, centro, semi-eixos, parametrização) e fazer um esboço (ou seja, dizer como desenhá‑la no espaço). Lista das informações dadas: a expressão da superfície em termos de
e a altura do plano
. Neste passo eu apenas recapitulei o que está pedido e as informações fornecidas.
Passo 2
Vamos obter a equação da curva de interseção: para pontos que pertencem simultaneamente à quádricula e ao plano substituímos
na equação da quádricula. Assim:
Isto é uma equação em
e
que descreve a curva contida no plano
. Intuitivamente, cortar um paraboloide elíptico por um plano horizontal
constante gera sempre uma curva do tipo elipse (quando a constante é maior que o mínimo, aqui o mínimo de
é
), porque contornos de nível de
são elipses. Vou agora pôr essa equação na forma padrão de uma elipse.
Passo 3
Colocando a equação na forma canônica de elipse: dividir ambos os lados de
por
. Obtemos
Explicando a leitura desta forma: a equação canônica de uma elipse centrada na origem no plano
é
, onde
e
são os semi-eixos ao longo de
e
respectivamente. Comparando com a nossa equação vemos que
e
Portanto a curva é uma elipse com semi-eixo menor
na direção de
e semi-eixo maior
na direção de
.
Passo 4
Localização e orientação no espaço: a elipse está contida no plano
, então o centro da elipse no espaço tem coordenadas
— isto é,
,
,
. Suas extremidades principais são:
O comprimento do eixo maior é
(direção
) e do eixo menor é
(direção
). Observação geométrica: como o plano é paralelo ao plano
, essa elipse é um “corte horizontal” do paraboloide; para outras alturas
a equação seria
e, em geral, os semi-eixos seriam
e
.
Passo 5
Parametrização conveniente da curva (útil para esboçar ou para cálculos): usar a parametrização padrão da elipse em termos de um parâmetro
:
Isso percorre a elipse uma vez quando
vai de
a
. Para esboçar: desenhe o plano horizontal
, marque o centro em
, marque os quatro pontos
e
e ligue suavemente formando uma elipse alongada na direção
. Dica prática: também pode plotar alguns pontos intermediários usando
etc., pela parametrização acima para obter a forma exata.
Resposta
Elipse dada por
, contida no plano
, centro em
, semi‑eixos
(direção
) e
(direção
); parametrização
para
.