Questão 3. (4.5 pontos) Indentifique, descreva analiticamente e faça um esboço da curva obtida pela interseção da quádrica e do plano indicado em cada item.
y=x^{2}+\frac{z^{2}}{9}; plano y=4.

Passo 1

O enunciado dá a quádricula (paraboloide elíptico)
y = x^{2} + \frac{z^{2}}{9}
e o plano
y = 4.
O que a questão pede: identificar que tipo de curva é a interseção entre a quádricula e o plano, descrever essa curva analiticamente (equação canônica, centro, semi-eixos, parametrização) e fazer um esboço (ou seja, dizer como desenhá‑la no espaço). Lista das informações dadas: a expressão da superfície em termos de x,z e a altura do plano y=4. Neste passo eu apenas recapitulei o que está pedido e as informações fornecidas.

Passo 2

Vamos obter a equação da curva de interseção: para pontos que pertencem simultaneamente à quádricula e ao plano substituímos y=4 na equação da quádricula. Assim:
4 = x^{2} + \frac{z^{2}}{9}.
Isto é uma equação em x e z que descreve a curva contida no plano y=4. Intuitivamente, cortar um paraboloide elíptico por um plano horizontal y= constante gera sempre uma curva do tipo elipse (quando a constante é maior que o mínimo, aqui o mínimo de y é 0), porque contornos de nível de x^{2}+\frac{z^{2}}{9} são elipses. Vou agora pôr essa equação na forma padrão de uma elipse.

Passo 3

Colocando a equação na forma canônica de elipse: dividir ambos os lados de
4 = x^{2} + \frac{z^{2}}{9}
por 4. Obtemos
\frac{x^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{36} = 1.
Explicando a leitura desta forma: a equação canônica de uma elipse centrada na origem no plano (x,z) é \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{b^{2}}=1, onde a e b são os semi-eixos ao longo de x e z respectivamente. Comparando com a nossa equação vemos que
a^{2}=4\quad\Rightarrow\quad a=2
e
b^{2}=36\quad\Rightarrow\quad b=6.
Portanto a curva é uma elipse com semi-eixo menor a=2 na direção de x e semi-eixo maior b=6 na direção de z.

Passo 4

Localização e orientação no espaço: a elipse está contida no plano y=4, então o centro da elipse no espaço tem coordenadas (0,4,0) — isto é, x=0, y=4, z=0. Suas extremidades principais são:
\text{pontos ao longo do eixo }x:\; (x,y,z)=(\pm 2,\,4,\,0),
\text{pontos ao longo do eixo }z:\; (x,y,z)=(0,\,4,\,\pm 6).
O comprimento do eixo maior é 2b=12 (direção z) e do eixo menor é 2a=4 (direção x). Observação geométrica: como o plano é paralelo ao plano xz, essa elipse é um “corte horizontal” do paraboloide; para outras alturas y=c>0 a equação seria x^{2}+\dfrac{z^{2}}{9}=c e, em geral, os semi-eixos seriam a=\sqrt{c} e b=3\sqrt{c}.

Passo 5

Parametrização conveniente da curva (útil para esboçar ou para cálculos): usar a parametrização padrão da elipse em termos de um parâmetro t\in[0,2\pi):
x=2\cos t,\qquad z=6\sin t,\qquad y=4.
Isso percorre a elipse uma vez quando t vai de 0 a 2\pi. Para esboçar: desenhe o plano horizontal y=4, marque o centro em (0,4,0), marque os quatro pontos (\pm2,4,0) e (0,4,\pm6) e ligue suavemente formando uma elipse alongada na direção z. Dica prática: também pode plotar alguns pontos intermediários usando t=\pi/4,\pi/2, etc., pela parametrização acima para obter a forma exata.

Resposta

Elipse dada por \displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{36}=1, contida no plano y=4, centro em (0,4,0), semi‑eixos a=2 (direção x) e b=6 (direção z); parametrização \displaystyle x=2\cos t,\; z=6\sin t,\; y=4 para t\in[0,2\pi).

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