Questão 2. (3.0 pontos) Duas aeronaves A_{1} e A_{2} viajam no espaço ao longo das trajetórias
respectivamente ( t= tempo, t \geq 0 ).
\sigma_{1}(t)=\left(t, t^{2}+2 t+5\right) \text { e } \sigma_{2}(t)=(1+t, 8+t)
(a) As trajetórias se inteceptam em dois pontos P_{1} e P_{2}. Determine P_{1} e P_{2}.
(b) As aeronaves se chocam em P_{1} ? E em P_{2} ? Justifique algebricamente.

Passo 1

O enunciado dá as trajetórias paramétricas das duas aeronaves, com t representando o tempo e t\ge 0:
\sigma_{1}(t)=\bigl(t,\;t^{2}+2t+5\bigr),\qquad \sigma_{2}(t)=\bigl(1+t,\;8+t\bigr).
As perguntas são:
  1. Determinar os pontos de interseção geométrica das trajetórias, chamados P_{1} e P_{2}.
  2. Verificar se as aeronaves se chocam em P_{1} e em P_{2}, justificando algebricamente (isto é, dizer se elas ocupam o mesmo ponto no mesmo instante de tempo).

Passo 2

O que significa “trajetórias se intersectam”? Significa que existe um ponto P que é atingido por ambas as curvas. Em termos paramétricos, isso quer dizer que existem parâmetros (chamo-os aqui de t para \sigma_{1} e s para \sigma_{2}) tais que
\sigma_{1}(t)=\sigma_{2}(s).
Isto gera um sistema com duas equações (uma para cada coordenada). Importante distinguir interseção geométrica (existem t e s, possivelmente diferentes) de colisão (os dois ocupam o mesmo ponto exatamente no mesmo instante, ou seja, existe um t tal que \sigma_{1}(t)=\sigma_{2}(t)). Agora vamos montar e resolver o sistema.

Passo 3

Escrevendo as igualdades de coordenadas, com t\) para \(\sigma_{1}\) e \(s\) para \(\sigma_{2}\): \[\begin{cases} t = 1 + s,\\[4pt] t^{2}+2t+5 = 8 + s. \end{cases}
Da primeira equação isolamos (s]:
s = t - 1.]

Passo 4

Substituímos s=t-1 na segunda equação:
t^{2}+2t+5 = 8 + (t-1).
Simplificando o lado direito:
t^{2}+2t+5 = t + 7.
Passando tudo para um lado:
t^{2}+2t+5 - t - 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}+t-2=0.
Esta é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la com a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = 1^{2} - 4\cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.
As raízes são
t = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}.
Logo
t_{1} = \frac{-1+3}{2}=1,\qquad t_{2}=\frac{-1-3}{2}=-2.

Passo 5

Para cada solução t encontramos s=t-1 e o ponto de interseção:
  • Para t_{1}=1: s_{1}=1-1=0. Calculando a posição,
\sigma_{1}(1)=\bigl(1,\;1^{2}+2\cdot1+5\bigr)=\bigl(1,\;8\bigr).
Também \sigma_{2}(0)=\bigl(1+0,\;8+0\bigr)=(1,8). Portanto um ponto de interseção é
P_{1}=(1,8).
  • Para t_{2}=-2: s_{2}=-2-1=-3. Calculando a posição,
\sigma_{1}(-2)=\bigl(-2,\;(-2)^{2}+2(-2)+5\bigr)=\bigl(-2,\;4-4+5\bigr)=(-2,5).
Também \sigma_{2}(-3)=\bigl(1+(-3),\;8+(-3)\bigr)=(-2,5). Portanto o outro ponto de interseção é
P_{2}=(-2,5).

Passo 6

Agora usamos a informação do tempo físico: o enunciado indica t\ge 0. Isso significa que instantes negativos não representam posições ocorrendo no intervalo de tempo considerado. Para interpretar:
  • P_{1}=(1,8) é atingido por \sigma_{1} em t=1 (que é \ge 0) e por \sigma_{2} em s=0 (que é \ge 0). Então ambas as aeronaves passam por P_{1}, mas em instantes diferentes ( t=1 e t=0).
  • P_{2}=(-2,5) é atingido por \sigma_{1} em t=-2 e por \sigma_{2} em s=-3; ambos são instantes negativos, portanto fora do intervalo físico t\ge 0. Assim P_{2} não é atingido por nenhuma das aeronaves durante o tempo considerado t\ge 0.

Passo 7

Verificação algébrica de colisão (mesmo instante): para colidir os dois vetores devem ser iguais com o mesmo parâmetro de tempo; isto é, procurar t\ge 0 tal que
\sigma_{1}(t)=\sigma_{2}(t).
Comparando a primeira coordenada, obtemos
t = 1 + t,
que leva a 0=1, contradição. Portanto não existe t que satisfaça \sigma_{1}(t)=\sigma_{2}(t). Conclusão: as aeronaves nunca ocupam a mesma posição exatamente no mesmo instante de tempo; logo não há colisão em P_{1} nem em P_{2}.

Resposta

P_{1}=(1,8)
P_{2}=(-2,5)
As aeronaves se chocam em P_{1}? Não — \sigma_{1}(1)=P_{1} e \sigma_{2}(0)=P_{1}, instantes diferentes.
As aeronaves se chocam em P_{2}? Não — P_{2} ocorre em t=-2 para \sigma_{1} e t=-3 para \sigma_{2} (tempos negativos, fora de t\ge 0), e mesmo assim os instantes são diferentes.

Exercícios relacionados