Questão 2. (3.0 pontos) Duas aeronaves
e
viajam no espaço ao longo das trajetórias
respectivamente (
tempo,
).
(a) As trajetórias se inteceptam em dois pontos
e
. Determine
e
.
(b) As aeronaves se chocam em
? E em
? Justifique algebricamente.
respectivamente (
(b) As aeronaves se chocam em
Passo 1
O enunciado dá as trajetórias paramétricas das duas aeronaves, com
representando o tempo e
:
As perguntas são:
- Determinar os pontos de interseção geométrica das trajetórias, chamados
e . - Verificar se as aeronaves se chocam em
e em , justificando algebricamente (isto é, dizer se elas ocupam o mesmo ponto no mesmo instante de tempo).
Passo 2
O que significa “trajetórias se intersectam”? Significa que existe um ponto
que é atingido por ambas as curvas. Em termos paramétricos, isso quer dizer que existem parâmetros (chamo-os aqui de
para
e
para
) tais que
Isto gera um sistema com duas equações (uma para cada coordenada). Importante distinguir interseção geométrica (existem
e
, possivelmente diferentes) de colisão (os dois ocupam o mesmo ponto exatamente no mesmo instante, ou seja, existe um
tal que
). Agora vamos montar e resolver o sistema.
Passo 3
Escrevendo as igualdades de coordenadas, com
Da primeira equação isolamos (s]:
]
Passo 4
Substituímos
na segunda equação:
Simplificando o lado direito:
Passando tudo para um lado:
Esta é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la com a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
As raízes são
Logo
Passo 5
Para cada solução
encontramos
e o ponto de interseção:
- Para
: . Calculando a posição,
Também
. Portanto um ponto de interseção é
- Para
: . Calculando a posição,
Também
. Portanto o outro ponto de interseção é
Passo 6
Agora usamos a informação do tempo físico: o enunciado indica
. Isso significa que instantes negativos não representam posições ocorrendo no intervalo de tempo considerado. Para interpretar:
-
é atingido por em (que é ) e por em (que é ). Então ambas as aeronaves passam por , mas em instantes diferentes ( e ). -
é atingido por em e por em ; ambos são instantes negativos, portanto fora do intervalo físico . Assim não é atingido por nenhuma das aeronaves durante o tempo considerado .
Passo 7
Verificação algébrica de colisão (mesmo instante): para colidir os dois vetores devem ser iguais com o mesmo parâmetro de tempo; isto é, procurar
tal que
Comparando a primeira coordenada, obtemos
que leva a
, contradição. Portanto não existe
que satisfaça
. Conclusão: as aeronaves nunca ocupam a mesma posição exatamente no mesmo instante de tempo; logo não há colisão em
nem em
.
Resposta
As aeronaves se chocam em
As aeronaves se chocam em