-35 O potencial elétrico no plano x y é dado por V=\left(2,0 \mathrm{~V} / \mathrm{m}^{2}\right) x^{2}-\left(3,0 \mathrm{~V} / \mathrm{m}^{2}\right) y^{2}. Qual é o campo elétrico no ponto ( 3,0 \mathrm{~m} ; 2,0 \mathrm{~m} ) na notação dos vetores unitários?
-36 O potencial elétrico V no espaço entre duas placas paralelas, 1 e 2 , é dado (em volts) por V= 1500 x^{2}, em que x (em metros) é a distância da placa 1 . Para x=1,3 \mathrm{~cm}, (a) determine o módulo do campo elétrico. (b) O campo elétrico aponta para a placa 1 ou no sentido oposto?
Passo 1
Enunciados e dados (vou listar tudo que cada item pede e todas as informações que temos).
Item -35:
Potencial elétrico no plano xy: V=\left(2{,}0\\ \mathrm{V/m^{2}}\right)x^{2}-\left(3{,}0\\ \mathrm{V/m^{2}}\right)y^{2}.
Ponto onde queremos o campo elétrico: (x,y)=(3{,}0\\ \mathrm{m};\;2{,}0\\ \mathrm{m}).
Pedido: determinar o campo elétrico nesse ponto, na notação dos vetores unitários (ex.: \hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}).
Item -36:
Potencial entre duas placas: em volts V=1500\,x^{2},
onde x (em metros) é a distância da placa 1.
Valor pedido em x=1{,}3\\ \mathrm{cm}.
Pedidos:
(a) determinar o módulo do campo elétrico em x=1{,}3\\ \mathrm{cm};
(b) dizer se o campo aponta para a placa 1 ou no sentido oposto.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula curtinha e prática).
O campo elétrico e o potencial elétrico estão ligados pela relação (esta é a ferramenta principal):
\mathbf{E} = -\nabla V.
Expliquei: aqui \mathbf{E} é o vetor campo elétrico (unidade \mathrm{V/m} ou \mathrm{N/C}), V é o potencial (unidade \mathrm{V}), e \nabla V é o gradiente de V — ou seja, o vetor das derivadas parciais em relação às coordenadas espaciais. Na prática:
Em coordenadas cartesianas no plano xy,
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{j}}.
Comentário rápido: coeficientes numéricos vêm de 2\times 2{,}0=4{,}0 e -2\times 3{,}0=-6{,}0. As unidades ficam \mathrm{V/m} porque \mathrm{V/m^{2}}\times\mathrm{m}=\mathrm{V/m}.
Passo 5
Avaliação numérica em (x,y)=(3{,}0\\ \mathrm{m};\;2{,}0\\ \mathrm{m}).
Calcule cada derivada em números:
Interpretação rápida: componente E_x=-12{,}0\\ \mathrm{V/m} (aponta no sentido negativo de x), componente E_y=+12{,}0\\ \mathrm{V/m} (aponta no sentido positivo de y).
Passo 7
Agora, item -36: situação unidimensional (apenas x), então a relação vira a derivada ordinária:
E_x = -\frac{dV}{dx}.
Aqui E_x é o componente do campo na direção x; o módulo do campo é |\mathbf{E}|=|E_x|.
Portanto o módulo do campo é |\mathbf{E}|=39{,}0\\ \mathrm{V/m}.
Passo 10
Interpretação da direção para -36 (explicando o sinal).
O resultado E_x=-39{,}0\\ \mathrm{V/m} significa que o campo aponta para o sentido negativo de x, ou seja, em direção à placa 1 (porque x é a distância da placa 1; diminuir x vai para a placa 1).
Em palavras simples: o potencial aumenta quando x aumenta (já que V\propto x^{2}), então o campo aponta em direção do menor potencial, isto é, para a placa 1.