-35 O potencial elétrico no plano x y é dado por V=\left(2,0 \mathrm{~V} / \mathrm{m}^{2}\right) x^{2}-\left(3,0 \mathrm{~V} / \mathrm{m}^{2}\right) y^{2}. Qual é o campo elétrico no ponto ( 3,0 \mathrm{~m} ; 2,0 \mathrm{~m} ) na notação dos vetores unitários?
-36 O potencial elétrico V no espaço entre duas placas paralelas, 1 e 2 , é dado (em volts) por V=
1500 x^{2}, em que x (em metros) é a distância da placa 1 . Para x=1,3 \mathrm{~cm}, (a) determine o módulo do campo elétrico. (b) O campo elétrico aponta para a placa 1 ou no sentido oposto?

Passo 1

Enunciados e dados (vou listar tudo que cada item pede e todas as informações que temos).
Item -35:
  • Potencial elétrico no plano xy: V=\left(2{,}0\\ \mathrm{V/m^{2}}\right)x^{2}-\left(3{,}0\\ \mathrm{V/m^{2}}\right)y^{2}.
  • Ponto onde queremos o campo elétrico: (x,y)=(3{,}0\\ \mathrm{m};\;2{,}0\\ \mathrm{m}).
  • Pedido: determinar o campo elétrico nesse ponto, na notação dos vetores unitários (ex.: \hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}).
Item -36:
  • Potencial entre duas placas: em volts V=1500\,x^{2},
onde x (em metros) é a distância da placa 1.
  • Valor pedido em x=1{,}3\\ \mathrm{cm}.
  • Pedidos:
    (a) determinar o módulo do campo elétrico em x=1{,}3\\ \mathrm{cm};
    (b) dizer se o campo aponta para a placa 1 ou no sentido oposto.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula curtinha e prática).
  • O campo elétrico e o potencial elétrico estão ligados pela relação (esta é a ferramenta principal):
\mathbf{E} = -\nabla V.
Expliquei: aqui \mathbf{E} é o vetor campo elétrico (unidade \mathrm{V/m} ou \mathrm{N/C}), V é o potencial (unidade \mathrm{V}), e \nabla V é o gradiente de V — ou seja, o vetor das derivadas parciais em relação às coordenadas espaciais. Na prática:
  • Em coordenadas cartesianas no plano xy,
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{i}}+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{j}}.
  • Então
\mathbf{E} = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)\hat{\mathbf{i}} - \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)\hat{\mathbf{j}}.
Observação sobre sinais: se \partial V/\partial x é positivo, o componente E_x será negativo — o campo aponta para a direção de menor potencial.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao item -35: calculamos as derivadas parciais de V(x,y).
Temos
V(x,y)=\left(2{,}0\right)x^{2}-\left(3{,}0\right)y^{2},
onde os coeficientes estão em \mathrm{V/m^{2}}. Calcule:
\frac{\partial V}{\partial x}=2\cdot\left(2{,}0\right)x,
\frac{\partial V}{\partial y}= -\,2\cdot\left(3{,}0\right)y.
Expliquei cada passo: derivada de a x^{2} em relação a x é 2a x. No segundo, o sinal negativo vem do termo -3{,}0\,y^{2}.

Passo 4

Simplificando as expressões das derivadas (mostrando os coeficientes):
\frac{\partial V}{\partial x}=\left(4{,}0\right)x\quad\text{(unidade: \(\mathrm{V/m}\))},
\frac{\partial V}{\partial y}=\left(-6{,}0\right)y\quad\text{(unidade: \(\mathrm{V/m}\))}.
Comentário rápido: coeficientes numéricos vêm de 2\times 2{,}0=4{,}0 e -2\times 3{,}0=-6{,}0. As unidades ficam \mathrm{V/m} porque \mathrm{V/m^{2}}\times\mathrm{m}=\mathrm{V/m}.

Passo 5

Avaliação numérica em (x,y)=(3{,}0\\ \mathrm{m};\;2{,}0\\ \mathrm{m}).
Calcule cada derivada em números:
\frac{\partial V}{\partial x}\Big|_{(3{,}0,\,2{,}0)} = 4{,}0 \times 3{,}0 = 12{,}0\\ \mathrm{V/m},
\frac{\partial V}{\partial y}\Big|_{(3{,}0,\,2{,}0)} = -6{,}0 \times 2{,}0 = -12{,}0\\ \mathrm{V/m}.
Mostrei a multiplicação passo a passo para tirar qualquer dúvida: 4{,}0\cdot 3{,}0=12{,}0 e -6{,}0\cdot 2{,}0=-12{,}0.

Passo 6

Formando o vetor gradiente e então o campo elétrico.
  • Gradiente em ponto dado:
\nabla V\Big|_{(3{,}0,\,2{,}0)} = \left(12{,}0\right)\hat{\mathbf{i}} + \left(-12{,}0\right)\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{V/m}.
  • Aplicando \mathbf{E}=-\nabla V,
\mathbf{E}\Big|_{(3{,}0,\,2{,}0)} = -\left(12{,}0\right)\hat{\mathbf{i}} -\left(-12{,}0\right)\hat{\mathbf{j}}.
Simplificando os sinais dá:
\mathbf{E}\Big|_{(3{,}0,\,2{,}0)} = -12{,}0\,\hat{\mathbf{i}} + 12{,}0\,\hat{\mathbf{j}}\quad(\mathrm{V/m}).
Interpretação rápida: componente E_x=-12{,}0\\ \mathrm{V/m} (aponta no sentido negativo de x), componente E_y=+12{,}0\\ \mathrm{V/m} (aponta no sentido positivo de y).

Passo 7

Agora, item -36: situação unidimensional (apenas x), então a relação vira a derivada ordinária:
E_x = -\frac{dV}{dx}.
Aqui E_x é o componente do campo na direção x; o módulo do campo é |\mathbf{E}|=|E_x|.

Passo 8

Derivada do potencial dado em -36:
V(x)=1500\,x^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{dV}{dx}=2\cdot 1500\,x = 3000\,x.
Expliquei: derivada de a x^{2} é 2 a x; portanto aqui fica 3000x. Unidade: \mathrm{V/m}.

Passo 9

Converter x=1{,}3\\ \mathrm{cm} para metros e avaliar numericamente.
  • Conversão: 1{,}3\\ \mathrm{cm}=0{,}013\\ \mathrm{m}.
  • Avaliação:
\frac{dV}{dx}\Big|_{x=0{,}013} = 3000\times 0{,}013 = 39{,}0\\ \mathrm{V/m}.
Então
E_x = -\frac{dV}{dx}\Big|_{x=0{,}013} = -39{,}0\\ \mathrm{V/m}.
Portanto o módulo do campo é |\mathbf{E}|=39{,}0\\ \mathrm{V/m}.

Passo 10

Interpretação da direção para -36 (explicando o sinal).
  • O resultado E_x=-39{,}0\\ \mathrm{V/m} significa que o campo aponta para o sentido negativo de x, ou seja, em direção à placa 1 (porque x é a distância da placa 1; diminuir x vai para a placa 1).
  • Em palavras simples: o potencial aumenta quando x aumenta (já que V\propto x^{2}), então o campo aponta em direção do menor potencial, isto é, para a placa 1.

Resposta

\mathbf{E}(3{,}0,2{,}0) = -12{,}0\,\hat{\mathbf{i}} + 12{,}0\,\hat{\mathbf{j}}\\ \mathrm{V/m}
|\mathbf{E}|_{x=1{,}3\\ \mathrm{cm}} = 39{,}0\\ \mathrm{V/m}
O campo aponta para a placa 1 (isto é, no sentido negativo de x).

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