1. (Problema 15, cap. 7) Três forças aplicadas a um baú que se desloca 2,50 \mathrm{~m} para a esquerda em um piso sem atrito. Os módulos das forças são F1 =6,00 \mathrm{~N}, F 2=10,0 \mathrm{~N}, e F3 =4,00 \mathrm{~N}; o ângulo indicado é \theta=55^{\circ}. (a) Qual é o trabalho total realizado sobre o baú pelas três forças? (b) A energia cinética do baú aumenta ou diminui?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Qual é o trabalho total realizado sobre o baú pelas três forças?
  2. (b) A energia cinética do baú aumenta ou diminui?
Informações dadas no enunciado:
  • O baú desloca-se 2,50\\ \mathrm{m} para a esquerda.
  • Os módulos das forças são \\ F_1=6,00\\ \mathrm{N}, \\ F_2=10,0\\ \mathrm{N} e \\ F_3=4,00\\ \mathrm{N}.
  • O ângulo indicado é \theta=55^\circ.
Observação importante: o enunciado original menciona um ângulo e forças, mas depende de um diagrama que mostra as direções (orientações) de \vec{F}_1,\vec{F}_2,\vec{F}_3 em relação ao deslocamento. Essa figura/diagrama não foi fornecida aqui. Sem saber a direção (ou o ângulo de cada força em relação à direção do deslocamento) não é possível obter o valor numérico do trabalho total.

Passo 2

Conceito de trabalho para força constante: quando uma força constante \vec{F} age sobre um objeto que sofre um deslocamento \vec{s}, o trabalho realizado por essa força é o produto escalar (dot product)
W=\vec{F}\cdot\vec{s}=F\,s\cos\varphi,
onde:
  • \vec{F} é a força (vetor),
  • \vec{s} é o deslocamento (vetor),
  • F=|\vec{F}| é o módulo da força,
  • s=|\vec{s}| é o módulo do deslocamento,
  • \varphi é o ângulo entre \vec{F} e \vec{s}.
Explicação simples do porquê: só a componente da força na direção do deslocamento realiza trabalho; a componente perpendicular não contribui.

Passo 3

Trabalho total para várias forças: o trabalho total realizado por várias forças constantes que atuam simultaneamente é a soma dos trabalhos individuais:
W_{\text{tot}}=W_1+W_2+W_3=\vec{F}_1\cdot\vec{s}+\vec{F}_2\cdot\vec{s}+\vec{F}_3\cdot\vec{s}.
Isso decorre da linearidade do produto escalar.

Passo 4

Escolha de eixos e representação do deslocamento: é conveniente escolher o eixo x horizontal, com sentido positivo para a direita, e o eixo y para cima. Como o deslocamento é de 2,50\\ \mathrm{m} para a esquerda, temos o vetor deslocamento
\vec{s} = -2,50\,\hat{\imath}\\ \mathrm{m}.
Aqui \hat{\imath} é o versor na direção positiva x. Note que a componente vertical do deslocamento é zero ( s_y=0).

Passo 5

Consequência útil: como s_y=0, o trabalho de cada força depende apenas da componente x dessa força:
W_k = \vec{F}_k\cdot\vec{s} = F_{k,x}\,s_x + F_{k,y}\,s_y = F_{k,x}\,s_x \quad\text{(pois \(s_y=0\)).}
Com s_x=-2,50\\ \mathrm{m}, obtemos
W_k = F_{k,x}\cdot(-2,50).
Portanto, o trabalho total pode ser escrito como
W_{\text{tot}} = (F_{1,x}+F_{2,x}+F_{3,x})\cdot(-2,50).

Passo 6

Como encontrar F_{k,x}: se soubermos o ângulo \alpha_k que cada \vec{F}_k faz com o eixo +x (sentido para a direita), então
F_{k,x} = F_k\cos\alpha_k.
Exemplos de interpretação (apenas para entender o procedimento):
  • Se \vec{F}_k aponta exatamente para a esquerda, então \alpha_k=180^\circ e \cos\alpha_k=-1, logo F_{k,x}=-F_k.
  • Se \vec{F}_k aponta exatamente para a direita, \alpha_k=0^\circ e F_{k,x}=+F_k.
  • Se \vec{F}_k tem componente para cima/baixo, isso só influencia F_{k,y} e não altera o trabalho neste deslocamento puramente horizontal.

Passo 7

Ligação com energia cinética (parte b): o Teorema do Trabalho-Energia diz que a variação da energia cinética do objeto é igual ao trabalho total realizado sobre ele:
\Delta K = K_f - K_i = W_{\text{tot}}.
Assim:
  • Se W_{\text{tot}}>0, a energia cinética aumenta.
  • Se W_{\text{tot}}<0, a energia cinética diminui.
  • Se W_{\text{tot}}=0, a energia cinética não muda.

Passo 8

Por que não posso dar o número final: para obter um valor numérico para W_{\text{tot}} é preciso conhecer os sinais e/ou ângulos correspondentes às projeções horizontais F_{1,x},F_{2,x},F_{3,x}. O enunciado fornecido aqui informa apenas os módulos das forças e um ângulo \theta=55^\circ, mas sem o diagrama não sabemos a que força esse \theta se refere nem a que direção cada força aponta (por exemplo: se aponta para a esquerda com ângulo \theta acima da horizontal, ou para a direita com ângulo \theta abaixo, etc.). Sem essas informações geométricas não dá para calcular numericamente F_{k,x} e, portanto, não dá para obter W_{\text{tot}}.

Passo 9

O que eu teria feito se a figura estivesse disponível (resumo do método que você usaria na prova):
  1. Identificar para cada força \vec{F}_k o ângulo \alpha_k em relação ao eixo +x.
  2. Calcular F_{k,x}=F_k\cos\alpha_k.
  3. Somar as componentes horizontais: F_{x,\text{total}}=F_{1,x}+F_{2,x}+F_{3,x}.
  4. Calcular W_{\text{tot}}=F_{x,\text{total}}\cdot s_x com s_x=-2,50\\ \mathrm{m}.
  5. Usar \Delta K=W_{\text{tot}} para responder se a energia cinética aumenta (se \Delta K>0) ou diminui (se \Delta K<0).

Passo 10

Resumo final e incentivo: não dá para fornecer o valor numérico do trabalho total nem afirmar se a energia cinética aumenta ou diminui porque falta a informação sobre as direções (ângulos) das forças no diagrama. Se você tiver a figura ou puder dizer a orientação de cada força (por exemplo: \vec{F}_1 para a esquerda, \vec{F}_2 faz \theta=55^\circ acima da horizontal para a esquerda, etc.), eu aplico imediatamente os passos acima e calculo tudo, explicando cada conta passo a passo — você vai tirar de letra na prova!

Resposta

Não é possível calcular numericamente o trabalho total nem dizer se a energia cinética aumenta ou diminui, porque o enunciado depende de um diagrama com as direções (ângulos) das forças que não foi fornecido.

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