Um bloco de massa \mathrm{m}=2,5 \mathrm{~kg} é deixado cair de uma altura \mathrm{h}=50 \mathrm{~cm} sobre uma mola de constante \mathrm{k}=2000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Determine a variação máxima de comprimento da mola ao ser comprimida.

Passo 1

O enunciado pede a variação máxima do comprimento da mola quando um bloco é deixado cair sobre ela. Dados fornecidos:
m=2,5\\ \mathrm{kg} (massa do bloco),
h=50\\ \mathrm{cm}=0,50\\ \mathrm{m} (altura de queda medida até o topo da mola),
k=2000\\ \mathrm{N/m} (constante elástica da mola).
A pergunta é: qual é a compressão máxima x da mola quando o bloco atingir a posição de parada máxima?

Passo 2

Hipóteses e condições claras (importante para a prova):
  • Desprezamos atrito e resistência do ar (energia mecânica é conservada).
  • O bloco é solto do repouso (velocidade inicial v_0=0).
  • A mola está inicialmente sem deformação no instante em que o bloco começa a cair (ou seja, a distância h é até o topo não comprimido da mola).
  • Usaremos g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} para a aceleração da gravidade.

Passo 3

Princípio físico usado (explicação didática): conservação da energia mecânica.
  • Energia potencial gravitacional: quando o bloco desce uma distância total (h+x) (primeiro cai h até tocar a mola e depois comprime mais x), a perda de energia gravitacional é convertida em energia elástica da mola na compressão máxima.
  • Energia potencial gravitacional é dada por \;E_g=m g y\;, onde m é a massa, g é a gravidade e y é a altura perdida.
  • Energia armazenada numa mola (energia elástica) é \;E_s=\tfrac{1}{2}k x^2\;, onde k é a constante da mola e x é a compressão.
    No ponto de máxima compressão a velocidade é zero, então toda a energia perdida por gravidade virou energia da mola:
m g (h + x)=\tfrac{1}{2}k x^2.

Passo 4

Passo algébrico: transformar a equação em uma equação quadrática padrão em x.
Começamos com
m g (h + x)=\tfrac{1}{2}k x^2.
Multiplicando e reordenando:
\tfrac{1}{2}k x^2 - m g x - m g h = 0.
Essa é uma equação quadrática da forma \;A x^2 + B x + C = 0\; com
A=\tfrac{1}{2}k,\qquad B=-m g,\qquad C=-m g h.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos (converta tudo para o SI): m=2,5, g=9,8, h=0,50, k=2000.
Calcule os coeficientes:
A=\tfrac{1}{2}k=\tfrac{1}{2}\cdot 2000 = 1000,
B=-m g = -2,5\cdot 9,8 = -24,5,
C=-m g h = -2,5\cdot 9,8\cdot 0,50 = -12,25.
A equação fica
1000\,x^2 - 24{,}5\,x - 12{,}25 = 0.

Passo 6

Resolver a quadrática com a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}.
Aqui B^2-4AC é o discriminante. Calculamos:
B^2 = (-24{,}5)^2 = 600{,}25,
4AC = 4\cdot 1000\cdot (-12{,}25) = -49\,000.
Portanto o discriminante é
\Delta = B^2-4AC = 600{,}25 - (-49\,000) = 600{,}25 + 49\,000 = 49\,600{,}25.
A raiz quadrada é
\sqrt{\Delta} \approx 222{,}711.
Agora as raízes:
x=\frac{24{,}5 \pm 222{,}711}{2000}.

Passo 7

Escolher a raiz física: uma das soluções será negativa (descartamos porque compressão negativa não faz sentido aqui). Calculamos a solução positiva:
x=\frac{24{,}5 + 222{,}711}{2000}=\frac{247{,}211}{2000}\approx 0{,}1236055\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais em centímetros),
x\approx 0{,}124\\ \mathrm{m}=12{,}4\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Cheque rápido (sanidade): energia gravitacional perdida m g (h+x) com x\approx0{,}1236 dá aproximadamente a energia elástica \tfrac12 k x^2; as unidades batem e o valor é consistente com a equação inicial — portanto a resposta faz sentido.

Resposta

x\approx 0{,}124\\ \mathrm{m}=12{,}4\\ \mathrm{cm}

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