Um bloco de massa
é deixado cair de uma altura
sobre uma mola de constante
. Determine a variação máxima de comprimento da mola ao ser comprimida.
Passo 1
O enunciado pede a variação máxima do comprimento da mola quando um bloco é deixado cair sobre ela. Dados fornecidos:
(massa do bloco),
(altura de queda medida até o topo da mola),
(constante elástica da mola).
A pergunta é: qual é a compressão máxima da mola quando o bloco atingir a posição de parada máxima?
A pergunta é: qual é a compressão máxima
Passo 2
Hipóteses e condições claras (importante para a prova):
- Desprezamos atrito e resistência do ar (energia mecânica é conservada).
- O bloco é solto do repouso (velocidade inicial
). - A mola está inicialmente sem deformação no instante em que o bloco começa a cair (ou seja, a distância
é até o topo não comprimido da mola). - Usaremos
para a aceleração da gravidade.
Passo 3
Princípio físico usado (explicação didática): conservação da energia mecânica.
- Energia potencial gravitacional: quando o bloco desce uma distância total
(primeiro cai até tocar a mola e depois comprime mais ), a perda de energia gravitacional é convertida em energia elástica da mola na compressão máxima. - Energia potencial gravitacional é dada por
, onde é a massa, é a gravidade e é a altura perdida. - Energia armazenada numa mola (energia elástica) é
, onde é a constante da mola e é a compressão.
No ponto de máxima compressão a velocidade é zero, então toda a energia perdida por gravidade virou energia da mola:
Passo 4
Passo algébrico: transformar a equação em uma equação quadrática padrão em
.
Começamos com
Começamos com
Multiplicando e reordenando:
Essa é uma equação quadrática da forma
com
Passo 5
Substituindo os valores numéricos (converta tudo para o SI):
,
,
,
.
Calcule os coeficientes:
Calcule os coeficientes:
A equação fica
Passo 6
Resolver a quadrática com a fórmula de Bhaskara:
Aqui
é o discriminante. Calculamos:
Portanto o discriminante é
A raiz quadrada é
Agora as raízes:
Passo 7
Escolher a raiz física: uma das soluções será negativa (descartamos porque compressão negativa não faz sentido aqui). Calculamos a solução positiva:
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais em centímetros),
Passo 8
Cheque rápido (sanidade): energia gravitacional perdida
com
dá aproximadamente a energia elástica
; as unidades batem e o valor é consistente com a equação inicial — portanto a resposta faz sentido.