Um tubo em forma de
é preenchido com um líquido, sendo o comprimento total da coluna de líquido
. Se o líquido de um lado estiver ligeiramente pressionado, os níveis do líquido oscilarão sobre a posição de equilíbrio antes de finalmente descer (a) Mostre que as oscilações são MHS. (b) Encontre o período de oscilações.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
(a) Mostrar que, se deslocarmos ligeiramente o líquido de um lado do tubo em U, os níveis oscilam fazendo um Movimento Harmônico Simples (MHS).
(b) Encontrar o período dessas oscilações.
(a) Mostrar que, se deslocarmos ligeiramente o líquido de um lado do tubo em U, os níveis oscilam fazendo um Movimento Harmônico Simples (MHS).
(b) Encontrar o período dessas oscilações.
Informações e quantidades que vamos usar (todas fornecidas ou naturais no problema):
- O tubo em forma de U está completamente preenchido por um líquido; o comprimento total da coluna de líquido é
. - A área da secção transversal do tubo é constante; vou denotá‑la por
(o enunciado não dá , então introduzo para fazer contas; a resposta final não dependerá de ). - A massa específica (densidade) do líquido é
. - A aceleração da gravidade é
. - O deslocamento small (pequeno) do nível de um lado em relação ao equilíbrio será denotado por
. Para pequenas oscilações assumimos que os deslocamentos são pequenos comparados à geometria do tubo (linearização válida).
Não vou resolver nada neste passo, apenas organizei o que temos e o que se pede.
Passo 2
Escolha de coordenada e relação geométrica importante (conservação de volume):
- Defino
como o deslocamento do nível do líquido no braço esquerdo em relação à posição de equilíbrio; se então o nível esquerdo subiu e o direito desceu . Essa escolha é natural porque o comprimento total da coluna de líquido é fixo: quando um lado sobe, o outro necessariamente desce pelo mesmo valor, para conservar volume. - Portanto a diferença de altura entre as duas superfícies livres é
.
Explicação didática: pensar no líquido como um “só corpo” dentro do tubo: como o tubo tem seção constante e o volume total é fixo, um acréscimo de volume em um braço deve ser compensado por uma perda de mesmo volume no outro; com seções iguais isso implica deslocamentos iguais e opostos.
Passo 3
Cálculo da força restauradora pelo desequilíbrio de pressão:
- A pressão hidrostática em um ponto dado sobe com a profundidade: pequenas diferenças de altura entre os dois ramos produzem diferenças de pressão no fundo do U. A pressão devido a uma coluna de líquido de altura
é . - No nosso caso, a diferença de altura entre as superfícies é
. Assim a pressão no fundo do ramo cujo nível está mais alto é menor em do que no outro ramo. - Essa diferença de pressão aplicada sobre a área
do tubo gera uma força resultante que tende a restaurar o equilíbrio. O módulo da força restauradora é
Direção: se
(braço esquerdo acima do equilíbrio), essa força age para empurrar o líquido no sentido de diminuir
(ou seja, é uma força restauradora de sinal negativo na equação do movimento).
Didática: pense que a diferença de coluna entre os lados cria um “empurrão” a favor do lado mais baixo que tende a igualar os níveis. A fórmula
é a conhecida pressão hidrostática; multiplicando por
obtemos força.
Passo 4
Determinar a massa que sofre aceleração:
- A massa total do líquido na coluna é
- Para pequenas oscilações com seção constante, todos os elementos de fluido se deslocam de modo que, em cada instante, eles têm praticamente a mesma velocidade vertical (a geometria do movimento do fluido no U implica uma velocidade única de ascensão/descida da coluna). Assim podemos tratar a massa
como a massa efetiva que está sendo acelerada pela força restauradora .
Didática: pode parecer estranho pensar que toda a massa se move “igual”, mas para um tubo de seção constante e fluido incompressível, o movimento vertical do nível em um braço se traduz em um movimento coerente do líquido: não há cavidades para o fluido “escorregar” sem mover os demais elementos.
Passo 5
Escrever a equação do movimento (Segunda Lei de Newton) e montar a equação diferencial:
- Aplicando
ao movimento vertical coordenado por , tomando sinal positivo para cima no braço esquerdo, a força resultante é (negativa porque é restauradora). - A aceleração é
. - Então:
Substituindo
,
Podemos simplificar
(não nulos), obtendo a equação diferencial
Didática: esta é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficiente constante. A forma é exatamente aquela do Movimento Harmônico Simples (MHS), que vamos recordar no próximo passo.
Passo 6
Mostrar que a equação é de MHS e identificar a frequência angular:
- A forma padrão do MHS é
onde
é a frequência angular (em rad/s).
- Comparando com nossa equação,
Logo o movimento é MHS com frequência angular
Didática: MHS significa que a solução geral é uma combinação de funções seno e cosseno com frequência
; portanto os níveis oscilam senoidalmente em torno da posição de equilíbrio.
Passo 7
Encontrar o período das oscilações:
- A relação entre período
e frequência angular é
Substituindo
,
Explicação final: o período depende só do comprimento total
da coluna e da gravidade
, e não depende da área
nem da densidade
. Isso faz sentido físico: massa e força têm ambos
como fator e se cancelam.
Resposta
(a) As oscilações satisfazem a equação
, portanto são MHS.
(b) .
(b)