Um tubo em forma de \boldsymbol{U} é preenchido com um líquido, sendo o comprimento total da coluna de líquido \ell. Se o líquido de um lado estiver ligeiramente pressionado, os níveis do líquido oscilarão sobre a posição de equilíbrio antes de finalmente descer (a) Mostre que as oscilações são MHS. (b) Encontre o período de oscilações.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
(a) Mostrar que, se deslocarmos ligeiramente o líquido de um lado do tubo em U, os níveis oscilam fazendo um Movimento Harmônico Simples (MHS).
(b) Encontrar o período dessas oscilações.
Informações e quantidades que vamos usar (todas fornecidas ou naturais no problema):
  • O tubo em forma de U está completamente preenchido por um líquido; o comprimento total da coluna de líquido é \ell.
  • A área da secção transversal do tubo é constante; vou denotá‑la por A (o enunciado não dá A, então introduzo para fazer contas; a resposta final não dependerá de A).
  • A massa específica (densidade) do líquido é \rho.
  • A aceleração da gravidade é g.
  • O deslocamento small (pequeno) do nível de um lado em relação ao equilíbrio será denotado por y(t). Para pequenas oscilações assumimos que os deslocamentos são pequenos comparados à geometria do tubo (linearização válida).
Não vou resolver nada neste passo, apenas organizei o que temos e o que se pede.

Passo 2

Escolha de coordenada e relação geométrica importante (conservação de volume):
  • Defino y(t) como o deslocamento do nível do líquido no braço esquerdo em relação à posição de equilíbrio; se y>0 então o nível esquerdo subiu y e o direito desceu y. Essa escolha é natural porque o comprimento total da coluna de líquido é fixo: quando um lado sobe, o outro necessariamente desce pelo mesmo valor, para conservar volume.
  • Portanto a diferença de altura entre as duas superfícies livres é \Delta h = 2y(t).
Explicação didática: pensar no líquido como um “só corpo” dentro do tubo: como o tubo tem seção constante e o volume total é fixo, um acréscimo de volume em um braço deve ser compensado por uma perda de mesmo volume no outro; com seções iguais isso implica deslocamentos iguais e opostos.

Passo 3

Cálculo da força restauradora pelo desequilíbrio de pressão:
  • A pressão hidrostática em um ponto dado sobe com a profundidade: pequenas diferenças de altura entre os dois ramos produzem diferenças de pressão no fundo do U. A pressão devido a uma coluna de líquido de altura h é \rho g h.
  • No nosso caso, a diferença de altura entre as superfícies é \Delta h = 2y. Assim a pressão no fundo do ramo cujo nível está mais alto é menor em \rho g\cdot 2y do que no outro ramo.
  • Essa diferença de pressão aplicada sobre a área A do tubo gera uma força resultante que tende a restaurar o equilíbrio. O módulo da força restauradora é
F_{\text{rest}} = \rho g (2y) \cdot A = 2\rho g A y.
Direção: se y>0 (braço esquerdo acima do equilíbrio), essa força age para empurrar o líquido no sentido de diminuir y (ou seja, é uma força restauradora de sinal negativo na equação do movimento).
Didática: pense que a diferença de coluna entre os lados cria um “empurrão” a favor do lado mais baixo que tende a igualar os níveis. A fórmula \rho g h é a conhecida pressão hidrostática; multiplicando por A obtemos força.

Passo 4

Determinar a massa que sofre aceleração:
  • A massa total do líquido na coluna é
m = \rho \cdot (\text{volume}) = \rho \cdot (A\ell) = \rho A \ell.
  • Para pequenas oscilações com seção constante, todos os elementos de fluido se deslocam de modo que, em cada instante, eles têm praticamente a mesma velocidade vertical (a geometria do movimento do fluido no U implica uma velocidade única de ascensão/descida da coluna). Assim podemos tratar a massa m como a massa efetiva que está sendo acelerada pela força restauradora F_{\text{rest}}.
Didática: pode parecer estranho pensar que toda a massa se move “igual”, mas para um tubo de seção constante e fluido incompressível, o movimento vertical do nível em um braço se traduz em um movimento coerente do líquido: não há cavidades para o fluido “escorregar” sem mover os demais elementos.

Passo 5

Escrever a equação do movimento (Segunda Lei de Newton) e montar a equação diferencial:
  • Aplicando \sum F = m a ao movimento vertical coordenado por y(t), tomando sinal positivo para cima no braço esquerdo, a força resultante é -F_{\text{rest}} = -2\rho g A y (negativa porque é restauradora).
  • A aceleração é a = \ddot{y}.
  • Então:
m \ddot{y} = -2\rho g A y.
Substituindo m=\rho A \ell,
\rho A \ell \,\ddot{y} = -2\rho g A \,y.
Podemos simplificar \rho A (não nulos), obtendo a equação diferencial
\ddot{y} + \frac{2g}{\ell}\, y = 0.
Didática: esta é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficiente constante. A forma é exatamente aquela do Movimento Harmônico Simples (MHS), que vamos recordar no próximo passo.

Passo 6

Mostrar que a equação é de MHS e identificar a frequência angular:
  • A forma padrão do MHS é
\ddot{y} + \omega^2 y = 0,
onde \omega é a frequência angular (em rad/s).
  • Comparando com nossa equação,
\omega^2 = \frac{2g}{\ell}.
Logo o movimento é MHS com frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{2g}{\ell}}.
Didática: MHS significa que a solução geral é uma combinação de funções seno e cosseno com frequência \omega; portanto os níveis oscilam senoidalmente em torno da posição de equilíbrio.

Passo 7

Encontrar o período das oscilações:
  • A relação entre período T e frequência angular \omega é
T = \frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega,
T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\omega^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{2g}}.
Explicação final: o período depende só do comprimento total \ell da coluna e da gravidade g, e não depende da área A nem da densidade \rho. Isso faz sentido físico: massa e força têm ambos \rho A como fator e se cancelam.

Resposta

(a) As oscilações satisfazem a equação \ddot{y} + \dfrac{2g}{\ell}\,y=0, portanto são MHS.
(b) T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{2g}}.

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