Um bloco condutor recebe a mesma diferença de potencial entre pares de faces diferentes. Compare campo elétrico, densidade de corrente, corrente e velocidade de deriva dos elétrons.
Passo 1
O enunciado diz: um bloco condutor recebe a mesma diferença de potencial entre pares de faces diferentes. Pede-se comparar, entre essas diferentes aplicações da mesma diferença de potencial, os seguintes campos físicos: campo elétrico, densidade de corrente, corrente elétrica e velocidade de deriva dos elétrons.
Informações e notação que vou usar (tirei estas grandezas do próprio enunciado, definindo nomes para poder comparar):
- Denotar por
a mesma diferença de potencial aplicada. - Supor o bloco com três dimensões
. - Quando a diferença de potencial é aplicada entre as faces perpendiculares ao eixo
, as faces estão separadas por e a área dessas faces é . Analogamente, para os eixos e temos separações e áreas . - Vou comparar as grandezas para as três configurações:
aplicado ao longo de , ao longo de e ao longo de . - Variáveis de material e corrente: condutividade elétrica
do material (assumo material ôhmico e homogêneo), densidade de elétrons livres e carga do elétron (módulo).
O que se pede (resumido):
- Como mudam (relativamente)
(campo elétrico), (densidade de corrente), (corrente total) e (velocidade de deriva dos elétrons) quando a mesma é aplicada entre pares de faces diferentes (ou seja, quando a distância e a área das faces mudam)?
Passo 2
Relação entre diferença de potencial e campo elétrico dentro do condutor (conceito e fórmula).
- Em regime estacionário e com campo aproximadamente uniforme entre duas faces planas separadas por uma distância
, a relação entre diferença de potencial e campo elétrico médio ao longo da direção perpendicular às faces é
onde
é a distância entre as faces e
é o versor na direção do campo (do potencial mais alto para o mais baixo).
- Explicação: potencial reduzido por unidade de comprimento é justamente o campo elétrico. Se
é mantido fixo, quanto menor maior será o campo médio .
Aplicando ao bloco:
- Para
entre faces em : e
- Para
entre faces em : . - Para
entre faces em : .
Passo 3
Lei local de Ohm (densidade de corrente) e como usá-la — ensino didático.
- A lei de Ohm local (ou forma constitutiva para um material ôhmico homogêneo) diz que a densidade de corrente elétrica
é proporcional ao campo elétrico :
onde
é a condutividade elétrica do material.
- Significado das variáveis:
é corrente por unidade de área (A/m^2), é condutividade (S/m) e é campo (V/m). Essa relação vale localmente quando o material responde linearmente ao campo (material ôhmico).
Aplicando às três direções:
- Conclusão imediata: como
varia como , a densidade de corrente também varia como (para mesma e mesmo ).
Passo 4
Corrente total
a partir de
— fórmula e explicação.
- A corrente total que atravessa uma face plana onde
é aproximadamente uniforme é dada por
Se
é uniforme e perpendicular à área
, isto vira simplesmente
onde
é o módulo de
e
a área da face que recebe a corrente.
Aplicando ao bloco:
- Para corrente ao longo de
:
com
. Analogamente,
- Interpretação: a corrente total depende da razão área/distância
. Para a mesma , faces grandes e distância pequena aumentam a corrente.
Passo 5
Velocidade de deriva dos elétrons — definição e relação com
.
- A densidade de corrente pode ser vista microscopicamente como carga por unidade de volume vezes velocidade média de deriva. Para elétrons (carga
), a relação vetorial é
onde
é a densidade de portadores (número de elétrons livres por volume),
é o módulo da carga do elétron e
é a velocidade média de deriva dos elétrons (vetor). O sinal negativo indica que os elétrons (negativos) movem-se em sentido oposto ao vetor corrente convencional.
- Daí, isolando
,
Aplicando às três direções (usando
já obtidas):
- Observação prática: o módulo da velocidade de deriva varia como
(como e ) e não depende da área da face; apenas da separação entre as faces e das propriedades do material.
Passo 6
Resumo comparativo e interpretação física (linguagem simples).
- Campo elétrico: varia como inverso da distância entre faces. Menor separação
maior campo: . - Densidade de corrente: proporcional ao campo, logo também
. - Corrente total: depende de área e distância; para mesma
,
Isto significa que ao aplicar
entre faces pequenas e próximas pode resultar em pouca corrente mesmo que
e
sejam grandes, porque a área é pequena; e vice‑versa.
- Velocidade de deriva dos elétrons: proporcional à densidade de corrente e, portanto,
. Não depende da área da face; depende apenas da separação e das propriedades do material ( ). O sentido de é oposto ao de (e ao da corrente convencional).
Passo 7
Assumptions e limites em que as fórmulas valem (coisa importante para prova).
- Estas fórmulas usam suposições: material homogêneo e ôhmico (constante
), campo aproximadamente uniforme entre faces (geometria simples), regime estacionário (nenhuma acumulação de carga interna relevante) e contatos perfeitos. Se alguma dessas condições falhar (por exemplo, material não linear, grande efeito de borda, contatos com resistência), as relações precisariam ser ajustadas.