Um bloco condutor recebe a mesma diferença de potencial entre pares de faces diferentes. Compare campo elétrico, densidade de corrente, corrente e velocidade de deriva dos elétrons.

Passo 1

O enunciado diz: um bloco condutor recebe a mesma diferença de potencial entre pares de faces diferentes. Pede-se comparar, entre essas diferentes aplicações da mesma diferença de potencial, os seguintes campos físicos: campo elétrico, densidade de corrente, corrente elétrica e velocidade de deriva dos elétrons.
Informações e notação que vou usar (tirei estas grandezas do próprio enunciado, definindo nomes para poder comparar):
  • Denotar por V a mesma diferença de potencial aplicada.
  • Supor o bloco com três dimensões L_x,\,L_y,\,L_z.
  • Quando a diferença de potencial é aplicada entre as faces perpendiculares ao eixo x, as faces estão separadas por L_x e a área dessas faces é A_x=L_yL_z. Analogamente, para os eixos y e z temos separações L_y,\,L_z e áreas A_y=L_xL_z,\,A_z=L_xL_y.
  • Vou comparar as grandezas para as três configurações: V aplicado ao longo de x, ao longo de y e ao longo de z.
  • Variáveis de material e corrente: condutividade elétrica \sigma do material (assumo material ôhmico e homogêneo), densidade de elétrons livres n e carga do elétron e (módulo).
O que se pede (resumido):
  • Como mudam (relativamente) E (campo elétrico), \mathbf{J} (densidade de corrente), I (corrente total) e v_{\mathrm{d}} (velocidade de deriva dos elétrons) quando a mesma V é aplicada entre pares de faces diferentes (ou seja, quando a distância e a área das faces mudam)?

Passo 2

Relação entre diferença de potencial e campo elétrico dentro do condutor (conceito e fórmula).
  • Em regime estacionário e com campo aproximadamente uniforme entre duas faces planas separadas por uma distância d, a relação entre diferença de potencial V e campo elétrico médio \mathbf{E} ao longo da direção perpendicular às faces é
\mathbf{E}=\frac{V}{d}\,\hat{\mathbf{u}},
onde d é a distância entre as faces e \hat{\mathbf{u}} é o versor na direção do campo (do potencial mais alto para o mais baixo).
  • Explicação: potencial reduzido por unidade de comprimento é justamente o campo elétrico. Se V é mantido fixo, quanto menor d maior será o campo médio \mathbf{E}.
Aplicando ao bloco:
  • Para V entre faces em x: d=L_x e
\mathbf{E}_x=\frac{V}{L_x}\,\hat{\mathbf{x}}.
  • Para V entre faces em y: \mathbf{E}_y=\dfrac{V}{L_y}\,\hat{\mathbf{y}}.
  • Para V entre faces em z: \mathbf{E}_z=\dfrac{V}{L_z}\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 3

Lei local de Ohm (densidade de corrente) e como usá-la — ensino didático.
  • A lei de Ohm local (ou forma constitutiva para um material ôhmico homogêneo) diz que a densidade de corrente elétrica \mathbf{J} é proporcional ao campo elétrico \mathbf{E}:
\mathbf{J}=\sigma\,\mathbf{E},
onde \sigma é a condutividade elétrica do material.
  • Significado das variáveis: \mathbf{J} é corrente por unidade de área (A/m^2), \sigma é condutividade (S/m) e \mathbf{E} é campo (V/m). Essa relação vale localmente quando o material responde linearmente ao campo (material ôhmico).
Aplicando às três direções:
\mathbf{J}_x=\sigma\,\mathbf{E}_x=\sigma\frac{V}{L_x}\,\hat{\mathbf{x}}, \qquad \mathbf{J}_y=\sigma\frac{V}{L_y}\,\hat{\mathbf{y}}, \qquad \mathbf{J}_z=\sigma\frac{V}{L_z}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Conclusão imediata: como \mathbf{E} varia como 1/d, a densidade de corrente também varia como 1/d (para mesma \sigma e mesmo V).

Passo 4

Corrente total I a partir de \mathbf{J} — fórmula e explicação.
  • A corrente total que atravessa uma face plana onde \mathbf{J} é aproximadamente uniforme é dada por
I=\int_{A}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{A}.
Se \mathbf{J} é uniforme e perpendicular à área A, isto vira simplesmente
I=J\,A,
onde J é o módulo de \mathbf{J} e A a área da face que recebe a corrente.
Aplicando ao bloco:
  • Para corrente ao longo de x:
I_x = J_x\,A_x = \left(\sigma\frac{V}{L_x}\right)\!A_x = \sigma\,V\,\frac{A_x}{L_x},
com A_x=L_yL_z. Analogamente,
I_y=\sigma\,V\,\frac{A_y}{L_y},\qquad I_z=\sigma\,V\,\frac{A_z}{L_z}.
  • Interpretação: a corrente total depende da razão área/distância A/d. Para a mesma V, faces grandes e distância pequena aumentam a corrente.

Passo 5

Velocidade de deriva dos elétrons — definição e relação com \mathbf{J}.
  • A densidade de corrente pode ser vista microscopicamente como carga por unidade de volume vezes velocidade média de deriva. Para elétrons (carga -e), a relação vetorial é
\mathbf{J} = -\,n e\,\mathbf{v}_{\mathrm{d}},
onde n é a densidade de portadores (número de elétrons livres por volume), e é o módulo da carga do elétron e \mathbf{v}_{\mathrm{d}} é a velocidade média de deriva dos elétrons (vetor). O sinal negativo indica que os elétrons (negativos) movem-se em sentido oposto ao vetor corrente convencional.
  • Daí, isolando \mathbf{v}_{\mathrm{d}},
\mathbf{v}_{\mathrm{d}} = -\frac{\mathbf{J}}{n e}.
Aplicando às três direções (usando \mathbf{J}_i já obtidas):
\mathbf{v}_{\mathrm{d},x} = -\frac{\sigma}{n e}\,\frac{V}{L_x}\,\hat{\mathbf{x}}, \qquad \mathbf{v}_{\mathrm{d},y} = -\frac{\sigma}{n e}\,\frac{V}{L_y}\,\hat{\mathbf{y}}, \qquad \mathbf{v}_{\mathrm{d},z} = -\frac{\sigma}{n e}\,\frac{V}{L_z}\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Observação prática: o módulo da velocidade de deriva varia como 1/d (como \mathbf{J} e \mathbf{E}) e não depende da área da face; apenas da separação entre as faces e das propriedades do material.

Passo 6

Resumo comparativo e interpretação física (linguagem simples).
  • Campo elétrico: varia como inverso da distância entre faces. Menor separação \Rightarrow maior campo: \mathbf{E}\propto V/d.
  • Densidade de corrente: proporcional ao campo, logo também \mathbf{J}\propto V/d.
  • Corrente total: depende de área e distância; para mesma V,
I\propto\frac{A}{d}.
Isto significa que ao aplicar V entre faces pequenas e próximas pode resultar em pouca corrente mesmo que E e J sejam grandes, porque a área é pequena; e vice‑versa.
  • Velocidade de deriva dos elétrons: proporcional à densidade de corrente e, portanto, \lvert \mathbf{v}_{\mathrm{d}}\rvert\propto V/d. Não depende da área da face; depende apenas da separação d e das propriedades do material ( \sigma,\,n,\,e). O sentido de \mathbf{v}_{\mathrm{d}} é oposto ao de \mathbf{E} (e ao da corrente convencional).

Passo 7

Assumptions e limites em que as fórmulas valem (coisa importante para prova).
  • Estas fórmulas usam suposições: material homogêneo e ôhmico (constante \sigma), campo aproximadamente uniforme entre faces (geometria simples), regime estacionário (nenhuma acumulação de carga interna relevante) e contatos perfeitos. Se alguma dessas condições falhar (por exemplo, material não linear, grande efeito de borda, contatos com resistência), as relações precisariam ser ajustadas.

Resposta

\mathbf{E}_x=\dfrac{V}{L_x}\,\hat{\mathbf{x}},\quad \mathbf{E}_y=\dfrac{V}{L_y}\,\hat{\mathbf{y}},\quad \mathbf{E}_z=\dfrac{V}{L_z}\,\hat{\mathbf{z}}
\mathbf{J}_x=\sigma\dfrac{V}{L_x}\,\hat{\mathbf{x}},\quad \mathbf{J}_y=\sigma\dfrac{V}{L_y}\,\hat{\mathbf{y}},\quad \mathbf{J}_z=\sigma\dfrac{V}{L_z}\,\hat{\mathbf{z}}
I_x=\sigma V\,\dfrac{A_x}{L_x},\quad I_y=\sigma V\,\dfrac{A_y}{L_y},\quad I_z=\sigma V\,\dfrac{A_z}{L_z} (com A_x=L_yL_z,\;A_y=L_xL_z,\;A_z=L_xL_y)
\mathbf{v}_{\mathrm{d},x}=-\dfrac{\sigma}{n e}\dfrac{V}{L_x}\,\hat{\mathbf{x}},\quad \mathbf{v}_{\mathrm{d},y}=-\dfrac{\sigma}{n e}\dfrac{V}{L_y}\,\hat{\mathbf{y}},\quad \mathbf{v}_{\mathrm{d},z}=-\dfrac{\sigma}{n e}\dfrac{V}{L_z}\,\hat{\mathbf{z}}

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