Um condutor com cavidade contém uma carga pontual no interior. Determine as cargas induzidas na superfície da cavidade e na superfície externa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a(s) pergunta(s):
  • Há um condutor em equilíbrio eletrostático que possui uma cavidade nele.
  • No interior dessa cavidade há uma carga pontual de valor \,q\,.
  • Pergunta: quais são as cargas induzidas (isto é, os totais) na superfície interna da cavidade e na superfície externa do condutor?
Informações relevantes explícitas que eu vou usar depois:
  • A presença da carga pontual \,q\, está dentro da cavidade, não fazendo parte do material condutor.
  • O enunciado não especifica se o condutor tem alguma carga livre total inicial; vou indicar a resposta no caso geral em que o condutor tem carga total \,Q_{\text{cond}}\, e mencionar o caso particular mais comum em que o condutor é neutro ( Q_{\text{cond}}=0).

Passo 2

Princípios físicos e propriedades do condutor em equilíbrio que são essenciais (explicado de forma didática):
  • Em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso vem da ideia física de que cargas livres se movem até que não haja campo dentro do metal; matematicamente escrevemos \mathbf{E}=0 no volume do condutor.
  • Toda carga elétrica livre em um condutor em equilíbrio reside nas superfícies (ou seja, não há carga volumétrica livre no interior do material condutor).
  • A lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada com a carga total envolvida:
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Aqui \mathcal{S} é uma superfície fechada, \mathbf{E} é o campo elétrico, d\mathbf{A} é o elemento de área apontando para fora, Q_{\text{enc}} é a carga total dentro de \mathcal{S} e \varepsilon_0 é a constante dielétrica do vácuo.
  • Esses dois fatos (campo zero no condutor e Gauss) são a chave para determinar cargas induzidas: escolhendo uma superfície gaussiana que passe pelo interior do condutor (onde \mathbf{E}=0), o fluxo é zero e isso impõe uma relação entre a carga na cavidade e a carga induzida na superfície da cavidade.

Passo 3

Aplicando Gauss — cálculo da carga total induzida na superfície interna da cavidade:
  • Considere uma superfície fechada \mathcal{S} que fique inteiramente dentro do material do condutor, imediatamente no interior do metal que envolve a cavidade, de modo que \mathcal{S} envolva toda a cavidade e a carga pontual \,q\,, mas fique dentro da região onde \mathbf{E}=0.
  • Pelo fato de \mathbf{E}=0 em todo ponto dessa superfície, o fluxo é zero:
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0.
  • Pela lei de Gauss segue que a carga total encerrada é zero:
Q_{\text{enc}}=0.
  • O que está dentro da superfície \mathcal{S}? A carga pontual \,q\, mais a carga total na superfície interna da cavidade, que chamaremos de Q_{\text{int}}. Assim:
q + Q_{\text{int}} = 0.
  • Dessa equação obtemos imediatamente:
Q_{\text{int}} = -q.
Comentário didático: isso significa que, independentemente da forma da cavidade ou da posição da carga pontual dentro dela, o total de carga induzida sobre a superfície interna da cavidade é exatamente -q. A distribuição espacial dessa carga na superfície interna depende da geometria e da posição de \,q\, (ela será em geral não uniforme, com maior densidade próxima à carga), mas o total é fixo por Gauss.

Passo 4

Determinação da carga total na superfície externa usando conservação de carga do condutor:
  • Seja \,Q_{\text{cond}}\, a carga total do condutor (isto é, a soma de todas as cargas livres presentes no condutor, incluindo as que ficarão nas superfícies). Essa é uma quantidade dada pelo problema ou uma condição inicial do condutor.
  • O condutor tem duas superfícies possíveis para abrigar essa carga: a superfície interna da cavidade (já achamos Q_{\text{int}}=-q) e a superfície externa, cuja carga total chamaremos de Q_{\text{ext}}.
  • A conservação de carga impõe:
Q_{\text{cond}} = Q_{\text{int}} + Q_{\text{ext}}.
  • Substituindo Q_{\text{int}}=-q obtemos:
Q_{\text{ext}} = Q_{\text{cond}} - Q_{\text{int}} = Q_{\text{cond}} - (-q) = Q_{\text{cond}} + q.
Interpretação prática:
  • Se o condutor é neutro inicialmente, então Q_{\text{cond}}=0 e portanto Q_{\text{ext}}=+q. Ou seja: \emph{a superfície interna fica com -q e a superfície externa fica com +q}.
  • Se o condutor está carregado inicialmente com alguma carga \,Q_{\text{cond}}\neq0, o efeito da carga pontual é sempre induzir -q na superfície da cavidade, e então o restante da carga do condutor (isto é, Q_{\text{cond}}+q) aparece na superfície externa.

Passo 5

Comentários sobre distribuição espacial e casos especiais (dicas para prova, intuição e variantes):
  • Distribuição espacial: o argumento de Gauss fixa apenas o total de carga em cada superfície; a forma como a carga se espalha na superfície interna depende da geometria da cavidade e da posição de \,q\,. Se a cavidade e a posição de \,q\, forem simétricas (por exemplo, cavidade esférica e carga no centro), a distribuição pode ser uniforme; caso contrário será desigual, com maior densidade local próxima à carga.
  • Campo fora do condutor: o campo elétrico fora do condutor age como se houvesse uma carga total q+Q_{\text{cond}} localizada na configuração apropriada (por exemplo, para um condutor isolado e esférico a carga total externa se comporta como se estivesse concentrada no centro). Em particular, para condutor neutro ( Q_{\text{cond}}=0) o campo externo é equivalente ao de uma carga q situada no condutor (no sentido do efeito total), embora a posição efetiva da carga equivalente dependa da geometria.
  • Caso do condutor aterrado (grounded): se o condutor estiver aterrado, ele pode trocar carga com o terra e, tipicamente, Q_{\text{cond}} não é fixo. O mesmo argumento de Gauss ainda dá Q_{\text{int}}=-q. Porém, como o condutor pode perder/receber carga, a carga na superfície externa pode ir para o terra; no caso usual de condutor aterrado isolando a cavidade, a carga externa final costuma ser Q_{\text{ext}}=0 (o excesso -q+q flui para o solo), de modo que o campo fora do condutor pode ficar nulo. Em provas, fique atento se o enunciado diz “aterrado” ou “isolado”.

Passo 6

Resumo didático curto (como lembrar na prova):
  • Use sempre: campo interno do condutor é zero → escolha superfície gaussiana dentro do metal que envolva a cavidade → fluxo zero → carga encerrada zero → carga da cavidade + carga induzida na parede = 0 → induzida = negativo da carga na cavidade.
  • Depois use conservação de carga do condutor para achar a carga externa.

Resposta

Q_{\text{int}} = -q
Q_{\text{ext}} = Q_{\text{cond}} + q

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