Um condutor com cavidade contém uma carga pontual no interior. Determine as cargas induzidas na superfície da cavidade e na superfície externa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a(s) pergunta(s):
- Há um condutor em equilíbrio eletrostático que possui uma cavidade nele.
- No interior dessa cavidade há uma carga pontual de valor
. - Pergunta: quais são as cargas induzidas (isto é, os totais) na superfície interna da cavidade e na superfície externa do condutor?
Informações relevantes explícitas que eu vou usar depois:
- A presença da carga pontual
está dentro da cavidade, não fazendo parte do material condutor. - O enunciado não especifica se o condutor tem alguma carga livre total inicial; vou indicar a resposta no caso geral em que o condutor tem carga total
e mencionar o caso particular mais comum em que o condutor é neutro ( ).
Passo 2
Princípios físicos e propriedades do condutor em equilíbrio que são essenciais (explicado de forma didática):
- Em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro do material condutor é zero. Isso vem da ideia física de que cargas livres se movem até que não haja campo dentro do metal; matematicamente escrevemos
no volume do condutor. - Toda carga elétrica livre em um condutor em equilíbrio reside nas superfícies (ou seja, não há carga volumétrica livre no interior do material condutor).
- A lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico por uma superfície fechada com a carga total envolvida:
Aqui
é uma superfície fechada,
é o campo elétrico,
é o elemento de área apontando para fora,
é a carga total dentro de
e
é a constante dielétrica do vácuo.
- Esses dois fatos (campo zero no condutor e Gauss) são a chave para determinar cargas induzidas: escolhendo uma superfície gaussiana que passe pelo interior do condutor (onde
), o fluxo é zero e isso impõe uma relação entre a carga na cavidade e a carga induzida na superfície da cavidade.
Passo 3
Aplicando Gauss — cálculo da carga total induzida na superfície interna da cavidade:
- Considere uma superfície fechada
que fique inteiramente dentro do material do condutor, imediatamente no interior do metal que envolve a cavidade, de modo que envolva toda a cavidade e a carga pontual , mas fique dentro da região onde . - Pelo fato de
em todo ponto dessa superfície, o fluxo é zero:
- Pela lei de Gauss segue que a carga total encerrada é zero:
- O que está dentro da superfície
? A carga pontual mais a carga total na superfície interna da cavidade, que chamaremos de . Assim:
- Dessa equação obtemos imediatamente:
Comentário didático: isso significa que, independentemente da forma da cavidade ou da posição da carga pontual dentro dela, o total de carga induzida sobre a superfície interna da cavidade é exatamente
. A distribuição espacial dessa carga na superfície interna depende da geometria e da posição de
(ela será em geral não uniforme, com maior densidade próxima à carga), mas o total é fixo por Gauss.
Passo 4
Determinação da carga total na superfície externa usando conservação de carga do condutor:
- Seja
a carga total do condutor (isto é, a soma de todas as cargas livres presentes no condutor, incluindo as que ficarão nas superfícies). Essa é uma quantidade dada pelo problema ou uma condição inicial do condutor. - O condutor tem duas superfícies possíveis para abrigar essa carga: a superfície interna da cavidade (já achamos
) e a superfície externa, cuja carga total chamaremos de . - A conservação de carga impõe:
- Substituindo
obtemos:
Interpretação prática:
- Se o condutor é neutro inicialmente, então
e portanto . Ou seja: \emph{a superfície interna fica com e a superfície externa fica com }. - Se o condutor está carregado inicialmente com alguma carga
, o efeito da carga pontual é sempre induzir na superfície da cavidade, e então o restante da carga do condutor (isto é, ) aparece na superfície externa.
Passo 5
Comentários sobre distribuição espacial e casos especiais (dicas para prova, intuição e variantes):
- Distribuição espacial: o argumento de Gauss fixa apenas o total de carga em cada superfície; a forma como a carga se espalha na superfície interna depende da geometria da cavidade e da posição de
. Se a cavidade e a posição de forem simétricas (por exemplo, cavidade esférica e carga no centro), a distribuição pode ser uniforme; caso contrário será desigual, com maior densidade local próxima à carga. - Campo fora do condutor: o campo elétrico fora do condutor age como se houvesse uma carga total
localizada na configuração apropriada (por exemplo, para um condutor isolado e esférico a carga total externa se comporta como se estivesse concentrada no centro). Em particular, para condutor neutro ( ) o campo externo é equivalente ao de uma carga situada no condutor (no sentido do efeito total), embora a posição efetiva da carga equivalente dependa da geometria. - Caso do condutor aterrado (grounded): se o condutor estiver aterrado, ele pode trocar carga com o terra e, tipicamente,
não é fixo. O mesmo argumento de Gauss ainda dá . Porém, como o condutor pode perder/receber carga, a carga na superfície externa pode ir para o terra; no caso usual de condutor aterrado isolando a cavidade, a carga externa final costuma ser (o excesso flui para o solo), de modo que o campo fora do condutor pode ficar nulo. Em provas, fique atento se o enunciado diz “aterrado” ou “isolado”.
Passo 6
Resumo didático curto (como lembrar na prova):
- Use sempre: campo interno do condutor é zero → escolha superfície gaussiana dentro do metal que envolva a cavidade → fluxo zero → carga encerrada zero → carga da cavidade + carga induzida na parede = 0 → induzida = negativo da carga na cavidade.
- Depois use conservação de carga do condutor para achar a carga externa.