[35%] Resolva as EDOS a seguir de forma direta, isto é, calcule as raízes da equação característica e exiba as soluções gerais das equações.
a) x^{2} y^{\prime \prime}-9 x y^{\prime}+41 y=0, x>0;
b) y^{\prime \prime}-32 y^{\prime}+256 y=0
Para essa última EDO da letra b), calcule o seu Wronskiano sem usar fórmulas prontas.
Passo 1
O enunciado apresenta duas EDOs e pede soluções gerais e, no caso da letra (b), o cálculo do Wronskiano sem usar fórmulas prontas. Vou listar com clareza o que foi dado e o que é pedido.
(a) Equação: x^{2}y'' - 9x y' + 41 y = 0,\; x>0.
Pedido: encontrar a solução geral y(x).
(b) Equação: y'' - 32 y' + 256 y = 0.
Pedido: encontrar a solução geral y(x).
Pedido adicional: calcular o Wronskiano das duas soluções fundamentais dessa EDO, sem recorrer a fórmulas prontas (ou seja, calcular diretamente a determinante usando duas soluções independentes).
Passo 2
Resolvendo (a): escolher uma tentativa de solução e justificar por que funciona.
Observação (didática, passo a passo): quando uma equação tem potências de x multiplicando y'' e y' do tipo x^{2}y'' e x y', uma boa tentativa é procurar soluções da forma y=x^{r} (onde r pode ser complexo). A razão é que derivadas de x^{r} produzem potências de x que se cancelam com os fatores da equação, transformando a EDO numa equação algébrica para r. Não precisa decorar nomes; só lembre: tente y=x^{r}.
Calcule as derivadas de y=x^{r}:
y' = r x^{r-1},\qquad y'' = r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo na equação x^{2}y'' - 9x y' + 41 y = 0 temos:
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Aqui é importante entender que o \ln x aparece porque passamos de x^{r} para e^{r\ln x}.
Passo 5
Resolver (b): formar a equação característica e encontrar as raízes.
Para equações lineares com coeficientes constantes do tipo y'' + a y' + b y = 0, procuramos soluções y=e^{rx}. Substituindo, obtemos a equação característica r^{2} + a r + b = 0.
No caso dado:
y'' - 32 y' + 256 y = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} -32 r +256 = 0.
Tratar o caso de raiz dupla e deduzir a forma da solução geral de (b) com justificativa (redução de ordem).
Quando a equação característica tem uma raiz r de multiplicidade 2, uma solução é y_{1}=e^{r x}. Para obter a segunda solução independente y_{2}, usamos a técnica de reduzir a ordem: suponha y = u(x) e^{r x} e determine u.
Vamos aplicar isso com r=16. Defina y = u(x) e^{16 x}. Calcule as derivadas (faça devagar):y' = u' e^{16x} + 16 u e^{16x},
y'' - 32 y' + 256 y = \big(u'' e^{16x} + 32 u' e^{16x} + 256 u e^{16x}\big) -32\big(u' e^{16x} + 16 u e^{16x}\big) +256 u e^{16x}.
Agrupando termos e fatorando e^{16x}:
= e^{16x}\big(u'' + 32 u' +256 u -32 u' -512 u +256 u\big) = e^{16x} u''.
Portanto a EDO reduz-se a e^{16x} u'' = 0, i.e. u''=0.
Integrando u''=0 duas vezes obtemos u(x)=A+Bx. Assim a solução geral é
y(x) = (A + B x)e^{16x}.
Tomando as constantes C_{1}=A e C_{2}=B, escrevemos
y(x) = (C_{1} + C_{2} x)e^{16x}.
Isso mostra por que o fator x aparece como multiplicador da primeira solução quando a raiz é dupla.
Passo 7
Calcular o Wronskiano de (b) diretamente, usando as duas soluções fundamentais encontradas.
Escolhemos como base de soluções:y_{1}(x) = e^{16x},\qquad y_{2}(x) = x e^{16x}.Derivadas:y_{1}'(x) = 16 e^{16x},\qquad y_{2}'(x) = e^{16x} + 16 x e^{16x} = e^{16x}(1 + 16x).
O Wronskiano é a determinanteW(y_{1},y_{2})(x) = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}' - y_{2}y_{1}'.Substituindo:W = e^{16x}\cdot e^{16x}(1+16x) - x e^{16x}\cdot 16 e^{16x}.
Fatore e^{16x}e^{16x}=e^{32x}:W = e^{32x}\big(1+16x - 16x\big) = e^{32x}.Conclusão: W(y_{1},y_{2})(x)=e^{32x}, que é estritamente positiva para todo x real; portanto y_{1} e y_{2} são linearmente independentes, validando a base de soluções encontrada.