[35%] Resolva as EDOS a seguir de forma direta, isto é, calcule as raízes da equação característica e exiba as soluções gerais das equações.
a) x^{2} y^{\prime \prime}-9 x y^{\prime}+41 y=0, x>0;
b) y^{\prime \prime}-32 y^{\prime}+256 y=0
Para essa última EDO da letra b), calcule o seu Wronskiano sem usar fórmulas prontas.

Passo 1

O enunciado apresenta duas EDOs e pede soluções gerais e, no caso da letra (b), o cálculo do Wronskiano sem usar fórmulas prontas. Vou listar com clareza o que foi dado e o que é pedido.
  • (a) Equação: x^{2}y'' - 9x y' + 41 y = 0,\; x>0.
    • Pedido: encontrar a solução geral y(x).
  • (b) Equação: y'' - 32 y' + 256 y = 0.
    • Pedido: encontrar a solução geral y(x).
    • Pedido adicional: calcular o Wronskiano das duas soluções fundamentais dessa EDO, sem recorrer a fórmulas prontas (ou seja, calcular diretamente a determinante usando duas soluções independentes).

Passo 2

Resolvendo (a): escolher uma tentativa de solução e justificar por que funciona.
  • Observação (didática, passo a passo): quando uma equação tem potências de x multiplicando y'' e y' do tipo x^{2}y'' e x y', uma boa tentativa é procurar soluções da forma y=x^{r} (onde r pode ser complexo). A razão é que derivadas de x^{r} produzem potências de x que se cancelam com os fatores da equação, transformando a EDO numa equação algébrica para r. Não precisa decorar nomes; só lembre: tente y=x^{r}.
  • Calcule as derivadas de y=x^{r}:
    y' = r x^{r-1},\qquad y'' = r(r-1)x^{r-2}.
    Substituindo na equação x^{2}y'' - 9x y' + 41 y = 0 temos:

Passo 3

Formar a equação característica e resolvê-la.
  • Substituição (continuação do passo anterior):
    x^{2}\big(r(r-1)x^{r-2}\big) - 9x\big(r x^{r-1}\big) + 41(x^{r}) = 0.
    Simplificando o fator x^{r} (que para x>0 nunca é zero), obtemos a equação algébrica em r:
    r(r-1) - 9r + 41 = 0.
    Explicando cada termo: r(r-1) vem de y'' multiplicado por x^{2}, -9r vem de -9x y' e 41 vem do termo 41y.
  • Simplifique a equação:
    r^{2} - r - 9r + 41 = r^{2} -10r + 41 = 0.
  • Calcule as raízes usando a fórmula quadrática (mostro os passos):
    \Delta = (-10)^{2} - 4\cdot 1\cdot 41 = 100 - 164 = -64.
    Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjugadas:
    r = \frac{10 \pm \sqrt{-64}}{2} = \frac{10 \pm 8 i}{2} = 5 \pm 4 i.

Passo 4

Converter as raízes complexas em solução real e escrever a solução geral de (a).
  • Explicação didática de por que a forma com cos e sin aparece:
    • Para r = a \pm i b e y=x^{r}, usamos x^{r} = e^{r\ln x} = e^{a\ln x} e^{i b\ln x} = x^{a}(\cos(b\ln x) + i\sin(b\ln x)).
    • Portanto, as partes real e imaginária geram duas soluções reais linearmente independentes.
  • Aplicando ao nosso caso a=5 e b=4, a solução geral real é:
    y(x) = x^{5}\big(C_{1}\cos(4\ln x) + C_{2}\sin(4\ln x)\big),
    onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Aqui é importante entender que o \ln x aparece porque passamos de x^{r} para e^{r\ln x}.

Passo 5

Resolver (b): formar a equação característica e encontrar as raízes.
  • Para equações lineares com coeficientes constantes do tipo y'' + a y' + b y = 0, procuramos soluções y=e^{rx}. Substituindo, obtemos a equação característica r^{2} + a r + b = 0.
  • No caso dado:
    y'' - 32 y' + 256 y = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} -32 r +256 = 0.
  • Calcule o discriminante:
    \Delta = (-32)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 256 = 1024 - 1024 = 0.
    Como \Delta=0, temos uma raiz real dupla:
    r = \frac{32}{2} = 16,
    com multiplicidade 2.

Passo 6

Tratar o caso de raiz dupla e deduzir a forma da solução geral de (b) com justificativa (redução de ordem).
  • Quando a equação característica tem uma raiz r de multiplicidade 2, uma solução é y_{1}=e^{r x}. Para obter a segunda solução independente y_{2}, usamos a técnica de reduzir a ordem: suponha y = u(x) e^{r x} e determine u.
  • Vamos aplicar isso com r=16. Defina y = u(x) e^{16 x}. Calcule as derivadas (faça devagar): y' = u' e^{16x} + 16 u e^{16x},
y'' = u'' e^{16x} + 32 u' e^{16x} + 256 u e^{16x}.
  • Substitua em y'' - 32 y' + 256 y:
    y'' - 32 y' + 256 y = \big(u'' e^{16x} + 32 u' e^{16x} + 256 u e^{16x}\big) -32\big(u' e^{16x} + 16 u e^{16x}\big) +256 u e^{16x}.
  • Agrupando termos e fatorando e^{16x}:
    = e^{16x}\big(u'' + 32 u' +256 u -32 u' -512 u +256 u\big) = e^{16x} u''.
    Portanto a EDO reduz-se a e^{16x} u'' = 0, i.e. u''=0.
  • Integrando u''=0 duas vezes obtemos u(x)=A+Bx. Assim a solução geral é
    y(x) = (A + B x)e^{16x}.
    Tomando as constantes C_{1}=A e C_{2}=B, escrevemos
    y(x) = (C_{1} + C_{2} x)e^{16x}.
    Isso mostra por que o fator x aparece como multiplicador da primeira solução quando a raiz é dupla.

Passo 7

Calcular o Wronskiano de (b) diretamente, usando as duas soluções fundamentais encontradas.
  • Escolhemos como base de soluções: y_{1}(x) = e^{16x},\qquad y_{2}(x) = x e^{16x}.Derivadas: y_{1}'(x) = 16 e^{16x},\qquad y_{2}'(x) = e^{16x} + 16 x e^{16x} = e^{16x}(1 + 16x).
  • O Wronskiano é a determinante W(y_{1},y_{2})(x) = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}' - y_{2}y_{1}'.Substituindo: W = e^{16x}\cdot e^{16x}(1+16x) - x e^{16x}\cdot 16 e^{16x}.
  • Fatore e^{16x}e^{16x}=e^{32x}: W = e^{32x}\big(1+16x - 16x\big) = e^{32x}.Conclusão: W(y_{1},y_{2})(x)=e^{32x}, que é estritamente positiva para todo x real; portanto y_{1} e y_{2} são linearmente independentes, validando a base de soluções encontrada.

Resposta

(a) y(x)=x^{5}\big(C_{1}\cos(4\ln x)+C_{2}\sin(4\ln x)\big).\n(b) y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{16x}.\nWronskiano: W(y_{1},y_{2})(x)=e^{32x}.

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