[30%] Resolva pelo método de variação de parâmetros a EDd dada abaixo (ou seja, dê a solução geral da EDO), utilizando-se da fórmula abaixo para encontrar uma solução particular de uma equação nãohomogênea do tipo y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=g(x) (note que o g(x) é escolhido quando o termo que acompanha o y^{\prime \prime} é igual a 1 ):
y_{p}(x)=-y_{1}(x) \int \frac{y_{2}(x) g(x)}{W\left(y_{1}(x), y_{2}(x)\right)} d x+y_{2}(x) \int \frac{y_{1}(x) g(x)}{W\left(y_{1}(x), y_{2}(x)\right)} d x
Dê a solução geral da EDO:
x^{2} y^{\prime \prime}-14 x y^{\prime}+56 y=x^{13}, \text { com } x>0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da EDO
x^{2}y''-14xy'+56y=x^{13},\qquad x>0,
usando o método de variação de parâmetros e a fórmula fornecida
y_{p}(x)=-y_{1}(x)\int\frac{y_{2}(x)g(x)}{W(y_{1},y_{2})}\,dx +y_{2}(x)\int\frac{y_{1}(x)g(x)}{W(y_{1},y_{2})}\,dx.
Informações dadas relevantes:
  • A equação não homogênea está com coeficiente de y'' igual a x^{2} (não igual a 1).
  • Precisamos primeiro pôr a equação na forma padrão com coeficiente 1 em y''.
  • Devemos encontrar a solução geral (isto é, solução homogênea + solução particular).
    Não vou resolver nada ainda aqui — só identifiquei o que é pedido e os dados do problema.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma padrão dividindo por x^{2} (válido porque x>0, logo x^{2}\neq0):
y''-\frac{14}{x}y'+\frac{56}{x^{2}}y=x^{11}.
Aqui definimos as funções usadas no método:
p(x)=-\frac{14}{x},\qquad q(x)=\frac{56}{x^{2}},\qquad g(x)=x^{11},
onde g(x) é o termo do lado direito depois de normalizar o coeficiente de y'' para 1.

Passo 3

Resolvemos a equação homogênea associada
y''-\frac{14}{x}y'+\frac{56}{x^{2}}y=0.
Como os coeficientes são potências de x do tipo x^{-1},x^{-2}, essa é uma equação de Euler–Cauchy. Para esse tipo assumimos solução da forma y=x^{r}. Substituindo:
y'=r x^{r-1},\qquad y''=r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo na equação homogênea e multiplicando por x^{2} para eliminar denominadores:
r(r-1)x^{r}-14r x^{r}+56 x^{r}=0 \quad\Rightarrow\quad r(r-1)-14r+56=0.
Calculamos o polinômio característico:
r^{2}-r-14r+56=r^{2}-15r+56=0.
Resolvendo:
\Delta=(-15)^{2}-4\cdot1\cdot56=225-224=1,
r=\frac{15\pm1}{2}\Rightarrow r_{1}=8,\quad r_{2}=7.
Logo duas soluções independentes da homogênea são
y_{1}(x)=x^{8},\qquad y_{2}(x)=x^{7}.

Passo 4

Explico a fórmula de variação de parâmetros que vamos usar. A fórmula dada fornece uma solução particular y_{p} de
y''+p(x)y'+q(x)y=g(x),
em termos de duas soluções independentes y_{1},y_{2} da homogênea e do Wronskiano W(y_{1},y_{2}). O Wronskiano é definido por
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[4pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Observação importante: quando integramos as expressões na fórmula, podemos desprezar constantes de integração porque elas são absorvidas pela solução homogênea C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}.]

Passo 5

Calculamos o Wronskiano das duas soluções encontradas. Derivadas:
y_{1}'(x)=8x^{7},\qquad y_{2}'(x)=7x^{6}.
Então
W(y_{1},y_{2})(x)=x^{8}\cdot 7x^{6}-8x^{7}\cdot x^{7}=7x^{14}-8x^{14}=-x^{14}.

Passo 6

Montamos os integrandos da fórmula. Precisamos de \dfrac{y_{2}g}{W} e \dfrac{y_{1}g}{W}.
Calculamos:
\frac{y_{2}(x)g(x)}{W(x)}=\frac{x^{7}\cdot x^{11}}{-x^{14}}=\frac{x^{18}}{-x^{14}}=-x^{4},
\frac{y_{1}(x)g(x)}{W(x)}=\frac{x^{8}\cdot x^{11}}{-x^{14}}=\frac{x^{19}}{-x^{14}}=-x^{5}.

Passo 7

Integramos os integrandos (lembrando que omitimos constantes de integração pois serão absorvidas pela homogênea):
\int \frac{y_{2}g}{W}\,dx=\int (-x^{4})\,dx=-\frac{x^{5}}{5},
\int \frac{y_{1}g}{W}\,dx=\int (-x^{5})\,dx=-\frac{x^{6}}{6}.

Passo 8

Aplicamos a fórmula de variação de parâmetros:
y_{p}(x)=-y_{1}(x)\int\frac{y_{2}g}{W}\,dx+y_{2}(x)\int\frac{y_{1}g}{W}\,dx.
Substituindo os valores:
y_{p}(x)=-x^{8}\left(-\frac{x^{5}}{5}\right)+x^{7}\left(-\frac{x^{6}}{6}\right) =\frac{x^{13}}{5}-\frac{x^{13}}{6}.
Fatorando x^{13} e combinando frações:
y_{p}(x)=x^{13}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right) =x^{13}\left(\frac{6-5}{30}\right)=\frac{x^{13}}{30}.

Passo 9

A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a particular obtida:
y(x)=C_{1}x^{8}+C_{2}x^{7}+\frac{x^{13}}{30},\qquad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R},\\ x>0.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{8}+C_{2}x^{7}+\dfrac{x^{13}}{30}

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