[30%] Resolva pelo método de variação de parâmetros a EDd dada abaixo (ou seja, dê a solução geral da EDO), utilizando-se da fórmula abaixo para encontrar uma solução particular de uma equação nãohomogênea do tipo y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=g(x) (note que o g(x) é escolhido quando o termo que acompanha o y^{\prime \prime} é igual a 1 ):
y_{p}(x)=-y_{1}(x) \int \frac{y_{2}(x) g(x)}{W\left(y_{1}(x), y_{2}(x)\right)} d x+y_{2}(x) \int \frac{y_{1}(x) g(x)}{W\left(y_{1}(x), y_{2}(x)\right)} d x
Dê a solução geral da EDO:
x^{2} y^{\prime \prime}-14 x y^{\prime}+56 y=x^{13}, \text { com } x>0
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da EDO
x^{2}y''-14xy'+56y=x^{13},\qquad x>0,
usando o método de variação de parâmetros e a fórmula fornecida
A equação não homogênea está com coeficiente de y'' igual a x^{2} (não igual a 1).
Precisamos primeiro pôr a equação na forma padrão com coeficiente 1 em y''.
Devemos encontrar a solução geral (isto é, solução homogênea + solução particular).
Não vou resolver nada ainda aqui — só identifiquei o que é pedido e os dados do problema.
Passo 2
Colocamos a EDO na forma padrão dividindo por x^{2} (válido porque x>0, logo x^{2}\neq0):
onde g(x) é o termo do lado direito depois de normalizar o coeficiente de y'' para 1.
Passo 3
Resolvemos a equação homogênea associada
y''-\frac{14}{x}y'+\frac{56}{x^{2}}y=0.
Como os coeficientes são potências de x do tipo x^{-1},x^{-2}, essa é uma equação de Euler–Cauchy. Para esse tipo assumimos solução da forma y=x^{r}. Substituindo:
y'=r x^{r-1},\qquad y''=r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo na equação homogênea e multiplicando por x^{2} para eliminar denominadores:
Observação importante: quando integramos as expressões na fórmula, podemos desprezar constantes de integração porque elas são absorvidas pela solução homogênea C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}.]
Passo 5
Calculamos o Wronskiano das duas soluções encontradas. Derivadas: