[35%] Use somente o Método dos Coeficientes Indeterminados, não outro método, para resolver a EDO a seguir:
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-14 y=\operatorname{sen}(3 x), \text { com } y=y(x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária e pede uma solução y=y(x):
y''+5y'-14y=\operatorname{sen}(3x).
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito (forçamento) é \operatorname{sen}(3x).
  • O enunciado exige usar somente o Método dos Coeficientes Indeterminados.
    A tarefa é encontrar a solução geral y(x) (solução complementar mais uma solução particular).

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (ou solução complementar). A equação homogênea é
y''+5y'-14y=0.
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes, usamos a equação característica obtida substituindo y=e^{rx}. Isso dá a equação polinomial
r^{2}+5r-14=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Aplicando a fórmula de Bhaskara (ou fatorando se possível), temos
r=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\cdot1\cdot(-14)}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{25+56}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{81}}{2}=\frac{-5\pm9}{2}.
Logo as raízes são
r_{1}=2,\qquad r_{2}=-7.
Como as raízes são reais e distintas, a solução complementar (solução geral da homogênea) é
y_{c}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-7x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos o Método dos Coeficientes Indeterminados para encontrar uma solução particular y_{p}(x) da EDO completa.
Ideia do método (explicação didática): suponho uma forma para y_{p} baseada no termo forçante \operatorname{sen}(3x), com coeficientes desconhecidos que vou determinar substituindo y_{p} na EDO. Essa forma deve ser “do mesmo tipo” do forçante (seno/cosseno, polinômio, exponencial, produto etc.), multiplicada por potências de x se houver ressonância com a solução homogênea.
O forçante é \operatorname{sen}(3x). A forma natural de tentativa é
y_{p}(x)=A\cos(3x)+B\operatorname{sen}(3x),
com A e B constantes a determinar. Antes de usar, verificamos ressonância: precisamos checar se \cos(3x) ou \operatorname{sen}(3x) correspondem a soluções da homogênea. As raízes da homogênea são 2 e -7 (reais), não há raízes complexas \pm 3i. Portanto não há ressonância e a forma escolhida é adequada (não precisamos multiplicar por x).

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p} para substituir na EDO. Diferenciando termo a termo:
y_{p}(x)=A\cos(3x)+B\operatorname{sen}(3x),
y_{p}'(x)=-3A\operatorname{sen}(3x)+3B\cos(3x),
y_{p}''(x)=-9A\cos(3x)-9B\operatorname{sen}(3x).
(Observação didática: derive \cos(3x) obtendo -3\operatorname{sen}(3x) e derive \operatorname{sen}(3x) obtendo 3\cos(3x); para a segunda derivada aplica-se a derivada novamente.)

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação original e coletamos os termos em \cos(3x) e \operatorname{sen}(3x).
A esquerda da EDO dá
y_{p}''+5y_{p}'-14y_{p}
=(-9A\cos(3x)-9B\operatorname{sen}(3x)) +5(-3A\operatorname{sen}(3x)+3B\cos(3x)) -14(A\cos(3x)+B\operatorname{sen}(3x)).
Agora agrupamos os coeficientes de \cos(3x) e de \operatorname{sen}(3x) separadamente.
Coeficiente de \cos(3x):
-9A \;+\; 5\cdot 3B \;-\;14A = -9A +15B -14A = -23A +15B.
Coeficiente de \operatorname{sen}(3x):
-9B \;+\; 5\cdot(-3A) \;-\;14B = -9B -15A -14B = -15A -23B.
Portanto
y_{p}''+5y_{p}'-14y_{p}=(-23A+15B)\cos(3x)+(-15A-23B)\operatorname{sen}(3x).

Passo 6

Igualamos essa expressão ao lado direito \operatorname{sen}(3x), que pode ser escrito como 0\cdot\cos(3x)+1\cdot\operatorname{sen}(3x). Assim obtemos o sistema para A e B por comparação de coeficientes:
-23A+15B=0,
-15A-23B=1.
(Explicação: em identidades trigonométricas lineares, coeficientes de \cos e \operatorname{sen} devem ser iguais dos dois lados.)

Passo 7

Resolvemos o sistema linear. Vou usar regra de Cramer (determinantes), que é prática e direta para 2×2.
Matriz dos coeficientes:
\begin{pmatrix}-23 & 15\\[4pt]-15 & -23\end{pmatrix}.
Determinante principal
D = (-23)(-23)-15(-15)=529+225=754.
Determinante para A:
D_{A}=\begin{vmatrix}0 & 15\\[4pt]1 & -23\end{vmatrix}=0\cdot(-23)-15\cdot1=-15.
Logo
A=\frac{D_{A}}{D}=\frac{-15}{754}.
Determinante para B:
D_{B}=\begin{vmatrix}-23 & 0\\[4pt]-15 & 1\end{vmatrix}=(-23)\cdot1-0\cdot(-15)=-23.
Logo
B=\frac{D_{B}}{D}=\frac{-23}{754}.
(Síntese didática: regra de Cramer para sistema aA+bB=e,\; cA+dB=f A=(e d - b f)/D e B=(a f - e c)/D, com D=ad-bc. Aplicamos exatamente isso.)]

Passo 8

Agora escrevemos a solução particular com os valores encontrados:
y_{p}(x)=A\cos(3x)+B\operatorname{sen}(3x)=-\frac{15}{754}\cos(3x)-\frac{23}{754}\operatorname{sen}(3x).
Podemos fatorar um sinal negativo se quisermos, mas esta forma já está clara.

Passo 9

A solução geral da EDO é a soma da solução complementar com a solução particular:
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-7x}-\frac{15}{754}\cos(3x)-\frac{23}{754}\operatorname{sen}(3x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (fixadas por condições iniciais, se houvessem).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-7x}-\frac{15}{754}\cos(3x)-\frac{23}{754}\operatorname{sen}(3x)

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