[35%] Use somente o Método dos Coeficientes Indeterminados, não outro método, para resolver a EDO a seguir:
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-14 y=\operatorname{sen}(3 x), \text { com } y=y(x)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária e pede uma solução y=y(x):
y''+5y'-14y=\operatorname{sen}(3x).
Informações relevantes fornecidas:
É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
O termo do lado direito (forçamento) é \operatorname{sen}(3x).
O enunciado exige usar somente o Método dos Coeficientes Indeterminados.
A tarefa é encontrar a solução geral y(x) (solução complementar mais uma solução particular).
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (ou solução complementar). A equação homogênea é
y''+5y'-14y=0.
Para resolver equações lineares com coeficientes constantes, usamos a equação característica obtida substituindo y=e^{rx}. Isso dá a equação polinomial
r^{2}+5r-14=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Aplicando a fórmula de Bhaskara (ou fatorando se possível), temos
Como as raízes são reais e distintas, a solução complementar (solução geral da homogênea) é
y_{c}(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-7x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos o Método dos Coeficientes Indeterminados para encontrar uma solução particular y_{p}(x) da EDO completa.
Ideia do método (explicação didática): suponho uma forma para y_{p} baseada no termo forçante \operatorname{sen}(3x), com coeficientes desconhecidos que vou determinar substituindo y_{p} na EDO. Essa forma deve ser “do mesmo tipo” do forçante (seno/cosseno, polinômio, exponencial, produto etc.), multiplicada por potências de x se houver ressonância com a solução homogênea.
O forçante é \operatorname{sen}(3x). A forma natural de tentativa é
y_{p}(x)=A\cos(3x)+B\operatorname{sen}(3x),
com A e B constantes a determinar. Antes de usar, verificamos ressonância: precisamos checar se \cos(3x) ou \operatorname{sen}(3x) correspondem a soluções da homogênea. As raízes da homogênea são 2 e -7 (reais), não há raízes complexas \pm 3i. Portanto não há ressonância e a forma escolhida é adequada (não precisamos multiplicar por x).
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_{p} para substituir na EDO. Diferenciando termo a termo:
y_{p}(x)=A\cos(3x)+B\operatorname{sen}(3x),
y_{p}'(x)=-3A\operatorname{sen}(3x)+3B\cos(3x),
y_{p}''(x)=-9A\cos(3x)-9B\operatorname{sen}(3x).
(Observação didática: derive \cos(3x) obtendo -3\operatorname{sen}(3x) e derive \operatorname{sen}(3x) obtendo 3\cos(3x); para a segunda derivada aplica-se a derivada novamente.)
Passo 5
Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação original e coletamos os termos em \cos(3x) e \operatorname{sen}(3x).
Igualamos essa expressão ao lado direito \operatorname{sen}(3x), que pode ser escrito como 0\cdot\cos(3x)+1\cdot\operatorname{sen}(3x). Assim obtemos o sistema para A e B por comparação de coeficientes:
-23A+15B=0,
-15A-23B=1.
(Explicação: em identidades trigonométricas lineares, coeficientes de \cos e \operatorname{sen} devem ser iguais dos dois lados.)
Passo 7
Resolvemos o sistema linear. Vou usar regra de Cramer (determinantes), que é prática e direta para 2×2.