Calcule o limite em cada caso.
\lim _{(x, y) \rightarrow(-3,1)} \frac{x^{4}+x^{2} y^{2}-10 x^{2}}{x^{2}+y^{2}-10}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(-3,1)} \frac{x^{4}+x^{2}y^{2}-10x^{2}}{x^{2}+y^{2}-10}.
Informações dadas e o que devemos observar:
  • A função que aparece é a razão \dfrac{x^{4}+x^{2}y^{2}-10x^{2}}{x^{2}+y^{2}-10}.
  • O ponto de aproximação é (-3,1).
  • Avaliando numerador e denominador no ponto dado: x^{2}+y^{2}-10\Big|_{(-3,1)} = 9+1-10 = 0,
x^{4}+x^{2}y^{2}-10x^{2}\Big|_{(-3,1)} = 81+9-90 = 0.
Logo a forma é \dfrac{0}{0}, uma indeterminação, então não podemos simplesmente substituir; precisamos manipular a expressão para calcular o limite.

Passo 2

Vou analisar o numerador para ver se ele se relaciona com o denominador e se é possível simplificar. Observe o numerador:
x^{4}+x^{2}y^{2}-10x^{2}.
Note que todos os termos têm fator comum x^{2}. Fatorando x^{2} obtemos:
x^{4}+x^{2}y^{2}-10x^{2} = x^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}-10\bigr).
Aqui eu apenas usei a propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma (fator comum): se todos os termos têm x^{2}, podemos escrevê-los como x^{2} multiplicando a soma dos quocientes.

Passo 3

Substituindo essa fatoração na fração original:
\frac{x^{4}+x^{2}y^{2}-10x^{2}}{x^{2}+y^{2}-10} = \frac{x^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}-10\bigr)}{x^{2}+y^{2}-10}.
Agora, quando \,x^{2}+y^{2}-10 \neq 0, podemos cancelar esse fator comum no numerador e no denominador, obtendo
\frac{x^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}-10\bigr)}{x^{2}+y^{2}-10} = x^{2}.
Importante observar: a simplificação vale para todos os pontos (x,y) em que o denominador não é zero, ou seja, fora da circunferência \,x^{2}+y^{2}=10. No entanto, ao calcular um limite em um ponto onde a função original não está definida (aqui o denominador é zero no ponto), é suficiente que exista uma função igual à dada em uma vizinhança puncturada do ponto (isto é, igual em todos os pontos próximos exceto possivelmente no próprio ponto). Neste caso a igualdade com x^{2} vale em toda vizinhança do ponto exceto nos pontos que estão exatamente sobre a circunferência; como a circunferência passa pelo ponto, qualquer vizinhança contém pontos fora dela, então podemos usar essa simplificação para estudar o limite.

Passo 4

Explico por que podemos trocar a função original pela função simplificada para fins de limite: se duas funções f e g coincidem em todos os pontos de uma vizinhança puncturada de (a,b) (ou seja, coincidem para todos os (x,y) suficientemente próximos de (a,b), exceto possivelmente em (a,b) em si), então \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y), desde que esses limites existam. Aqui a função dada coincide com g(x,y)=x^{2} em todos os pontos próximos a (-3,1) que não estejam na circunferência \,x^{2}+y^{2}=10. Por isso podemos calcular o limite da função simplificada x^{2}.

Passo 5

A função g(x,y)=x^{2} é um polinômio em x (não depende de y), e polinômios são contínuos em todos os pontos. A propriedade de continuidade diz que, para uma função contínua g,
\lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y) = g(a,b).
Aplicando isso com g(x,y)=x^{2} e (a,b)=(-3,1), temos
\lim_{(x,y)\to(-3,1)} x^{2} = (-3)^{2} = 9.
Portanto o limite da função original é igual a 9.

Resposta

9

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