Aqui eu apenas usei a propriedade distributiva da multiplicação sobre a soma (fator comum): se todos os termos têm x^{2}, podemos escrevê-los como x^{2} multiplicando a soma dos quocientes.
Importante observar: a simplificação vale para todos os pontos (x,y) em que o denominador não é zero, ou seja, fora da circunferência \,x^{2}+y^{2}=10. No entanto, ao calcular um limite em um ponto onde a função original não está definida (aqui o denominador é zero no ponto), é suficiente que exista uma função igual à dada em uma vizinhança puncturada do ponto (isto é, igual em todos os pontos próximos exceto possivelmente no próprio ponto). Neste caso a igualdade com x^{2} vale em toda vizinhança do ponto exceto nos pontos que estão exatamente sobre a circunferência; como a circunferência passa pelo ponto, qualquer vizinhança contém pontos fora dela, então podemos usar essa simplificação para estudar o limite.
Passo 4
Explico por que podemos trocar a função original pela função simplificada para fins de limite: se duas funções f e g coincidem em todos os pontos de uma vizinhança puncturada de (a,b) (ou seja, coincidem para todos os (x,y) suficientemente próximos de (a,b), exceto possivelmente em (a,b) em si), então \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y), desde que esses limites existam. Aqui a função dada coincide com g(x,y)=x^{2} em todos os pontos próximos a (-3,1) que não estejam na circunferência \,x^{2}+y^{2}=10. Por isso podemos calcular o limite da função simplificada x^{2}.
Passo 5
A função g(x,y)=x^{2} é um polinômio em x (não depende de y), e polinômios são contínuos em todos os pontos. A propriedade de continuidade diz que, para uma função contínua g,
\lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y) = g(a,b).
Aplicando isso com g(x,y)=x^{2} e (a,b)=(-3,1), temos