Seja
, e seja
o campo
.
(a) Demonstre que o campo
é conservativo e calcule sua função potencial.
(a) Demonstre que o campo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
definido no conjunto
. A pergunta é para mostrar que esse campo é conservativo e encontrar a função potencial dele. Isso está relacionado ao Cálculo Vetorial, especialmente aos Campos de Vetores Conservativos e Funções Potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
, ou seja:
Isso também implica que o campo não tem “girações”, e uma maneira de verificar isso é calculando a derivada cruzada (ou rotacional) do campo. Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Em duas dimensões, o rotacional de
é dado por:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular cada termo:
Então:
Como o rotacional é zero, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de integração que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda equação
para determinar
. Calculamos a derivada de
em relação a
:
Igualando com o que temos:
Isso significa que
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Resposta
A função potencial de
é: