(35 %) Seja U=(x, y) in R^2 mid x>0, e seja F: U R^2 o campo F(x, y)=(yx^2,-1x).
(a) Demonstre que o campo F é conservativo e calcule sua função potencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F(x, y) = (yx^2, -1x) definido no conjunto U = (x, y) in R^2 mid x > 0. A pergunta é para mostrar que esse campo é conservativo e encontrar a função potencial dele. Isso está relacionado ao Cálculo Vetorial, especialmente aos Campos de Vetores Conservativos e Funções Potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo F é conservativo se existe uma função escalar phi(x, y) tal que F = nabla phi, ou seja:
F(x, y) = ( partial phipartial x, partial phipartial y )
Isso também implica que o campo não tem “girações”, e uma maneira de verificar isso é calculando a derivada cruzada (ou rotacional) do campo. Se o rotacional for zero, o campo é conservativo.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. Em duas dimensões, o rotacional de F = (P, Q) é dado por:
rot F = partial Qpartial x - partial Ppartial y
No nosso caso, P = yx^2 e Q = -1x. Vamos calcular cada termo:
partial Qpartial x = partialpartial x ( -1x ) = 1x^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( yx^2 ) = 1x^2
Então:
rot F = 1x^2 - 1x^2 = 0
Como o rotacional é zero, o campo F é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função potencial phi(x, y). Sabemos que:
partial phipartial x = yx^2 e partial phipartial y = -1x
Vamos integrar partial phipartial x em relação a x para encontrar phi:
phi(x, y) = integral yx^2 , dx = y integral x^-2 , dx = y ( -x^-1 ) + g(y) = -yx + g(y)
Aqui, g(y) é uma função de integração que depende apenas de y.

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação partial phipartial y = -1x para determinar g(y). Calculamos a derivada de phi em relação a y:
partial phipartial y = partialpartial y ( -yx + g(y) ) = -1x + g'(y)
Igualando com o que temos:
-1x + g'(y) = -1x implies g'(y) = 0
Isso significa que g(y) é uma constante. Vamos chamar essa constante de C.

Resposta

A função potencial de F é:
phi(x, y) = -yx + C

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