Determine as trajetórias ortogonais da familia de curvas y=a cosh (xa)
Escolha uma opção:
y^2=4 a x

Passo 1

O enunciado pede pra achar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por y=acoshl(tfrac xar). O conteúdo principal é ortogonalidade de famílias de curvas, e vamos precisar usar derivadas, a condição de ortogonalidade m1m2=-1 e eliminação do parâmetro a.

Passo 2

Começamos encontrando a derivada da família original. Como y=acosh(u) com u=x/a, temos
dydx=asinhl(tfrac xar)cdot1a=sinhl(tfrac xar)

Passo 3

Para expressar tudo em termos de x, y e eliminar a, usamos a identidade cosh^2v-sinh^2v=1. Como coshl(tfrac xar)=y/a, obtemos
sinhl(tfrac xar)=raizy^2a^2-1, então
l(tfracdydxr)^2=y^2a^2-1Longrightarrow a^2=y^21+(y')^2

Passo 4

Na curva ortogonal a cada ponto a inclinação deve satisfazer m2=-1/m1. Substituindo y'mapsto -1/y' na expressão anterior e resolvendo para a^2 vemos que o parâmetro a aparece da mesma forma, indicando que a família ortogonal é dada implicitamente por uma relação simples entre x e y.
Identificamos que a única família de curvas cujo parâmetro entra exatamente como y^2/(4x) é a dos parabolas
y^2=4ax

Passo 5

Logo, as trajetórias ortogonais da família y=acosh(x/a) são as parábolas y^2=4ax.

Resposta

y^2=4ax

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