Determine as trajetórias ortogonais da familia de curvas
Escolha uma opção:
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Passo 1
O enunciado pede pra achar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
. O conteúdo principal é ortogonalidade de famílias de curvas, e vamos precisar usar derivadas, a condição de ortogonalidade
e eliminação do parâmetro
.
Passo 2
Começamos encontrando a derivada da família original. Como
com
, temos
Passo 3
Para expressar tudo em termos de
e eliminar
, usamos a identidade
. Como
, obtemos
Passo 4
Na curva ortogonal a cada ponto a inclinação deve satisfazer
. Substituindo
na expressão anterior e resolvendo para
vemos que o parâmetro
aparece da mesma forma, indicando que a família ortogonal é dada implicitamente por uma relação simples entre
e
.
Identificamos que a única família de curvas cujo parâmetro entra exatamente como é a dos parabolas
Identificamos que a única família de curvas cujo parâmetro entra exatamente como
Passo 5
Logo, as trajetórias ortogonais da família
são as parábolas
.
Resposta
y^2=4ax