Determine as trajetórias ortogonais da familia de curvas y=a cosh (xa)
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a família de catenárias dada por y=acoshl(tfrac xar), com parâmetro a>0. Queremos achar as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que cruzam cada catenária ortogonalmente.

Passo 2

Derivar a equação diferencial da família original. Diferenciando em relação a x:
dydx=sinhl(tfrac xar)
Como cosh^2u-sinh^2u=1, usando coshl(tfrac xar)=tfrac ya e sinhl(tfrac xar)=y' obtemos:
l(tfrac yar)^2-(y')^2=1
ou seja
1+(y')^2=y^2a^2

Passo 3

Obter a equação diferencial das trajetórias ortogonais. O declive das ortogonais é o recíproco negativo do declive da original, isto é:
se original: y'=m,então ortogonal: y'= -1m ã
Mas a relação geral já eliminou o parâmetro:
1+(y')^2=y^2a^2
Para as ortogonais, y' agora satisfaz a mesma equação com a constante da curva ortogonal.

Passo 4

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Escrevendo
dydx=raizy^2a^2-1,
temos
dx=a,dyraizy^2-a^2
Integrando:
x+C=aintegraldyraizy^2-a^2=a,arccoshl(tfrac yar)

Passo 5

Isolar y e identificar a família resultante. Da última linha:
arccoshl(tfrac yar)=x+Ca
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ya=coshl(tfracx+Car)
e portanto
y=acoshl(tfracx+Car)
Isso mostra que as trajetórias ortogonais são novamente catenárias, apenas deslocadas em x.

Resposta

As trajetórias ortogonais formam a mesma família de catenárias, dadas por
y=acoshl(tfracx+Car),
onde C é constante de integração.

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