Determine as trajetórias ortogonais da familia de curvas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a família de catenárias dada por
, com parâmetro
. Queremos achar as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que cruzam cada catenária ortogonalmente.
Passo 2
Derivar a equação diferencial da família original. Diferenciando em relação a
:
Como
, usando
e
obtemos:
ou seja
Passo 3
Obter a equação diferencial das trajetórias ortogonais. O declive das ortogonais é o recíproco negativo do declive da original, isto é:
Mas a relação geral já eliminou o parâmetro:
Para as ortogonais,
agora satisfaz a mesma equação com
constante da curva ortogonal.
Passo 4
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Escrevendo
temos
Integrando:
Passo 5
Isolar
e identificar a família resultante. Da última linha:
logo
e portanto
Isso mostra que as trajetórias ortogonais são novamente catenárias, apenas deslocadas em
.
Resposta
As trajetórias ortogonais formam a mesma família de catenárias, dadas por
onde
é constante de integração.