(2,0) Calcule a integral dupla integral duplaD y d A, onde D é o triângulo com vértices (0,0),(1,3) e (0,3).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos que calcular a integral dupla integral duplaD y,dA, onde D é o triângulo cujos vértices são (0,0), (1,3) e (0,3). O conteúdo é integração dupla sobre regiões planas e vamos precisar usar o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e descrever bem a região.

Passo 2

Descrição da região D: o lado entre (0,0) e (0,3) é x=0, o lado entre (0,0) e (1,3) é dado por y=3x, ou seja x=y/3, e o topo é y=3. Logo, para y variando de 0 a 3, x varia de 0 até y/3.

Passo 3

Montagem da integral dupla segundo Fubini: escrevemos
integral duplaD y,dA = integraly=0^3 l(integralx=0^y/3 y,dxr) dy

Passo 4

Cálculo da integral interna em x: como y é tratado como constante, temos
integralx=0^y/3 y,dx = y cdot l[xr]0^y/3 = y cdot y3 = y^23

Passo 5

Cálculo da integral externa em y: substituindo o resultado anterior,
integral0^3 y^23,dy = 13 integral0^3 y^2,dy = 13 cdot l[y^33r]0^3 = 13 cdot 273 = 3

Resposta

3

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