36 Seja T o operador linear do R^3, cuja matriz em relação à base canônica ordenada é
[ccc 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 3 & 4 ]
Determinar uma base para a imagem de T e uma base do núcleo de T.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 1 -1 & 3 & 4
Queremos encontrar uma base para a imagem de T (coluna-espaço de A) e uma base para o núcleo de T (soluções de A x=0).

Passo 2

Para achar a imagem, observamos as colunas de
Verificamos se é combinação linear de e . Buscamos tais que
Isso dá o sistema
Da segunda equação , e a terceira confere: . Logo
ou seja, é dependente de . Assim gera toda a imagem.

Passo 3

Como c1 e c2 são linearmente independentes, uma base para Im(T) é
10-1,;213

Passo 4

Para o núcleo, resolvemos
Da segunda equação ; então

Passo 5

Portanto o núcleo é de dimensão 1 e uma base para ker(T) é
(1,-1,1)

Resposta

Base da imagem de T: (1,0,-1),,(2,1,3).
Base do núcleo de T: (1,-1,1).

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