36 Seja
o operador linear do
, cuja matriz em relação à base canônica ordenada é
Determinar uma base para a imagem de
T e uma base do núcleo de
T .
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
T:R^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
Queremos encontrar uma base para a imagem de
T (coluna-espaço de
A ) e uma base para o núcleo de
T (soluções de
A x=0 ).
Passo 2
Para achar a imagem, observamos as colunas de
Verificamos se
é combinação linear de
e
. Buscamos
tais que
Isso dá o sistema
Da segunda equação , e a terceira confere:
. Logo
ou seja,
é dependente de
. Assim
gera toda a imagem.
Passo 3
Como
c1 e
c2 são linearmente independentes, uma base para
Im(T) é
Passo 4
Para o núcleo, resolvemos
Da segunda equação ; então
Passo 5
Portanto o núcleo é de dimensão 1 e uma base para
ker(T) é
Resposta
Base da imagem de
T :
(1,0,-1),,(2,1,3) .
Base do núcleo deT :
(1,-1,1) .
Base do núcleo de