9-38C In CFD lingo, the stream function is often called a non-primitive variable, while velocity and pressure are called primitive variables. Why do you suppose this is the case?
Passo 1
O enunciado pede que eu explique por que, no jargão de CFD, a função de corrente (stream function) é frequentemente chamada de variável não-primária (non-primitive), enquanto velocidade e pressão são chamadas de variáveis primárias (primitive variables).
Informações relevantes dadas implicitamente pela pergunta: (a) existem duas nomenclaturas (primitive vs non-primitive) aplicadas a variáveis em CFD; (b) os exemplos são: velocidade e pressão = primitive; função de corrente = non-primitive.
Informações relevantes dadas implicitamente pela pergunta: (a) existem duas nomenclaturas (primitive vs non-primitive) aplicadas a variáveis em CFD; (b) os exemplos são: velocidade e pressão = primitive; função de corrente = non-primitive.
Passo 2
O que significa “variável primária” (primitive variable)? Vou explicar com calma.
- Em CFD, chamamos de variáveis primárias aquelas que aparecem diretamente nas equações fundamentais de conservação (equações de Navier–Stokes e continuidade) e que normalmente são os incógnitos que se resolvem numericamente.
- Para o fluido incompressível clássico, as equações em forma forte são, em notação vetorial:
Aqui
(velocidade) e
(pressão) aparecem explicitamente nas equações: são os termos que representam conservação de massa e quantidade de movimento. Por isso são naturais como incógnitas primárias.
Passo 3
O que é a função de corrente (stream function) e como ela se relaciona com velocidade?
- Em duas dimensões incompressíveis, define-se a função de corrente
por:
onde
. Essa definição satisfaz automaticamente a continuidade
porque
- Assim,
é uma “variável derivada”: a velocidade é obtida por diferenciação de . Isto já dá uma pista do porquê de ser chamada não-primária: ela não aparece nas equações originais — é construída para satisfazer continuidade.
Passo 4
Reformulação vorticidade–função-de-corrente (um motivo prático para usar
):
- Define-se a vorticidade escalar (em 2D)
. As equações podem ser transformadas numa equação de transporte para junto com a relação de Poisson que liga e :
- Note que
entra na equação só através de (derivadas de ). Para obter a partir de é preciso resolver a equação de Poisson. Portanto é consequência da vorticidade/velocidade — não é uma incógnita “primária” nas equações de conservação originais.
Passo 5
Diferença prática entre primária e não-primária: presença nas equações e nas condições de contorno
- Velocidade e pressão aparecem nas equações de conservação e nos termos de conhecimento físico (forças, gradiente de pressão, viscosidade). Além disso, condições de contorno são naturalmente impostas em velocidade ou pressão (por ex.: velocidade em parede/malha, pressão em saída). Isso torna
e escolhas naturais de incógnitos numéricos (variáveis primárias). - A função de corrente
só faz sentido (e é conveniente) em fluxos incompressíveis 2D (ou axisimétricos com cuidados). Em 3D geral não existe uma única função escalar que represente o campo de velocidades. Logo tem aplicabilidade restrita. - Além disso, impor condições de contorno em
é menos direto: por exemplo, para paredes sólidas normalmente se impõe constante (fluxo paralelo nulo), mas as condições para na parede (necessárias na formulação vorticidade– ) envolvem derivadas de e são mais sutis. Ou seja, trocar primárias por muda a forma de impor BCs e pode complicar a implementação.
Passo 6
Aspectos numéricos e conceituais que sustentam a nomenclatura
- Pressão atua como multiplicador de Lagrange: na formulação primária da equação incompressível,
age para impor a restrição de incompressibilidade. Isso torna fundamental no sistema linear/algébrico que se resolve — outra razão para considerá-lo primário. - A formulação com
elimina explicitamente a restrição de continuidade (boa vantagem), mas introduz equações de ordem mais elevada (Poisson) e exige tratamento cuidadoso de BCs e acoplamento com vorticidade. Em CFD prático muitas vezes prefere-se resolver diretamente para e (por ex. métodos pressão-velocidade: SIMPLE, PISO) porque isso lida bem com BCs complexas, geometria 3D e compressibilidade. - Em resumo: “primitive” = incógnitos que aparecem nas leis conservativas e são naturais para BCs e algoritmos numéricos; “non-primitive” = variáveis derivadas ou auxiliares (como
) que se introduzem por conveniência, mas não são independentes no conjunto original de equações.
Passo 7
Resumo didático com um exemplo mental rápido (para fixar):
- Imagine um problema simples 2D incompressível em uma cavidade: se eu escolher incógnitos primários
eu resolve as equações de conservação e aplico diretamente as condições de velocidade nas paredes. Algoritmos padrão lidam com isso. - Se eu escolher
e (não-primárias/auxiliares), eu resolvo a equação de transporte para e depois para obter , e daí . Isso elimina do sistema, mas a imposição das condições de parede e a generalização para 3D ficam mais complicadas. Portanto é útil e elegante em 2D, mas não substitui as variáveis primárias em termos de generalidade.
Resposta
Porque velocidade e pressão são incógnitas que aparecem diretamente nas equações de conservação e nas condições de contorno (são as variáveis “naturais” a serem resolvidas numericamente), enquanto a função de corrente é uma variável derivada/auxiliar (definida para fluxos incompressíveis 2D) que se obtém por diferenciação da função de corrente ou por solução de uma equação de Poisson; portanto
não é uma incógnita primária das leis físicas originais e tem aplicabilidade e tratamento de contorno mais restritos, por isso é chamada de não-primária.