9-38C In CFD lingo, the stream function is often called a non-primitive variable, while velocity and pressure are called primitive variables. Why do you suppose this is the case?

Passo 1

O enunciado pede que eu explique por que, no jargão de CFD, a função de corrente (stream function) é frequentemente chamada de variável não-primária (non-primitive), enquanto velocidade e pressão são chamadas de variáveis primárias (primitive variables).
Informações relevantes dadas implicitamente pela pergunta: (a) existem duas nomenclaturas (primitive vs non-primitive) aplicadas a variáveis em CFD; (b) os exemplos são: velocidade e pressão = primitive; função de corrente = non-primitive.

Passo 2

O que significa “variável primária” (primitive variable)? Vou explicar com calma.
  • Em CFD, chamamos de variáveis primárias aquelas que aparecem diretamente nas equações fundamentais de conservação (equações de Navier–Stokes e continuidade) e que normalmente são os incógnitos que se resolvem numericamente.
  • Para o fluido incompressível clássico, as equações em forma forte são, em notação vetorial:
\nabla\cdot\mathbf{u}=0,
\rho\left(\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}\right)=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{u}+\mathbf{f}.
Aqui \mathbf{u} (velocidade) e p (pressão) aparecem explicitamente nas equações: são os termos que representam conservação de massa e quantidade de movimento. Por isso são naturais como incógnitas primárias.

Passo 3

O que é a função de corrente (stream function) e como ela se relaciona com velocidade?
  • Em duas dimensões incompressíveis, define-se a função de corrente \psi(x,y,t) por:
u = \frac{\partial\psi}{\partial y},\qquad v = -\frac{\partial\psi}{\partial x},
onde \mathbf{u}=(u,v). Essa definição satisfaz automaticamente a continuidade \nabla\cdot\mathbf{u}=0 porque
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial^2\psi}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2\psi}{\partial y\partial x}=0.
  • Assim, \psi é uma “variável derivada”: a velocidade é obtida por diferenciação de \psi. Isto já dá uma pista do porquê de ser chamada não-primária: ela não aparece nas equações originais — é construída para satisfazer continuidade.

Passo 4

Reformulação vorticidade–função-de-corrente (um motivo prático para usar \psi):
  • Define-se a vorticidade escalar (em 2D) \omega=(\nabla\times\mathbf{u})\cdot\mathbf{k}. As equações podem ser transformadas numa equação de transporte para \omega junto com a relação de Poisson que liga \omega e \psi:
\frac{\partial\omega}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla\omega = \nu\nabla^2\omega + \text{(forças)},ç
\nabla^2\psi = -\omega.
  • Note que \psi entra na equação só através de \mathbf{u} (derivadas de \psi). Para obter \psi a partir de \omega é preciso resolver a equação de Poisson. Portanto \psi é consequência da vorticidade/velocidade — não é uma incógnita “primária” nas equações de conservação originais.

Passo 5

Diferença prática entre primária e não-primária: presença nas equações e nas condições de contorno
  • Velocidade e pressão aparecem nas equações de conservação e nos termos de conhecimento físico (forças, gradiente de pressão, viscosidade). Além disso, condições de contorno são naturalmente impostas em velocidade ou pressão (por ex.: velocidade em parede/malha, pressão em saída). Isso torna \mathbf{u} e p escolhas naturais de incógnitos numéricos (variáveis primárias).
  • A função de corrente \psi só faz sentido (e é conveniente) em fluxos incompressíveis 2D (ou axisimétricos com cuidados). Em 3D geral não existe uma única função escalar \psi que represente o campo de velocidades. Logo \psi tem aplicabilidade restrita.
  • Além disso, impor condições de contorno em \psi é menos direto: por exemplo, para paredes sólidas normalmente se impõe \psi= constante (fluxo paralelo nulo), mas as condições para \omega na parede (necessárias na formulação vorticidade– \psi) envolvem derivadas de \psi e são mais sutis. Ou seja, trocar primárias por \psi muda a forma de impor BCs e pode complicar a implementação.

Passo 6

Aspectos numéricos e conceituais que sustentam a nomenclatura
  • Pressão atua como multiplicador de Lagrange: na formulação primária da equação incompressível, p age para impor a restrição de incompressibilidade. Isso torna p fundamental no sistema linear/algébrico que se resolve — outra razão para considerá-lo primário.
  • A formulação com \psi elimina explicitamente a restrição de continuidade (boa vantagem), mas introduz equações de ordem mais elevada (Poisson) e exige tratamento cuidadoso de BCs e acoplamento com vorticidade. Em CFD prático muitas vezes prefere-se resolver diretamente para \mathbf{u} e p (por ex. métodos pressão-velocidade: SIMPLE, PISO) porque isso lida bem com BCs complexas, geometria 3D e compressibilidade.
  • Em resumo: “primitive” = incógnitos que aparecem nas leis conservativas e são naturais para BCs e algoritmos numéricos; “non-primitive” = variáveis derivadas ou auxiliares (como \psi) que se introduzem por conveniência, mas não são independentes no conjunto original de equações.

Passo 7

Resumo didático com um exemplo mental rápido (para fixar):
  • Imagine um problema simples 2D incompressível em uma cavidade: se eu escolher incógnitos primários (u,v,p) eu resolve as equações de conservação e aplico diretamente as condições de velocidade nas paredes. Algoritmos padrão lidam com isso.
  • Se eu escolher \psi e \omega (não-primárias/auxiliares), eu resolvo a equação de transporte para \omega e depois \nabla^2\psi=-\omega para obter \psi, e daí (u,v). Isso elimina p do sistema, mas a imposição das condições de parede e a generalização para 3D ficam mais complicadas. Portanto \psi é útil e elegante em 2D, mas não substitui as variáveis primárias em termos de generalidade.

Resposta

Porque velocidade e pressão são incógnitas que aparecem diretamente nas equações de conservação e nas condições de contorno (são as variáveis “naturais” a serem resolvidas numericamente), enquanto a função de corrente é uma variável derivada/auxiliar (definida para fluxos incompressíveis 2D) que se obtém por diferenciação da função de corrente ou por solução de uma equação de Poisson; portanto \psi não é uma incógnita primária das leis físicas originais e tem aplicabilidade e tratamento de contorno mais restritos, por isso é chamada de não-primária.

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