41 Duas varetas A e B a 0^{\circ} \mathrm{C} estão encostadas a duas paredes verticais. Se entre elas se encontra um mola indeformada de constante 800 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, determine a força que irá comprimir a mola se as varetas forem aquecidas até 500^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} comprimento inicial de A é 60 cm e o de B é 30 \mathrm{~cm} . \alpha_{A}=1,5 \times 10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} \alpha_{B}=10^{-4}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede que determinemos a força que irá comprimir a mola quando as varetas A e B forem aquecidas de 0^\circ\mathrm{C} até 500^\circ\mathrm{C}. Informações dadas:
  • Comprimento inicial da vareta A: L_A=0,60\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento inicial da vareta B: L_B=0,30\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de dilatação linear de A: \alpha_A=1,5\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Coeficiente de dilatação linear de B: \alpha_B=1{,}0\times10^{-4}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Variação de temperatura: \Delta T=500^\circ\mathrm{C}-0^\circ\mathrm{C}=500^\circ\mathrm{C}.
  • Constante da mola: k=800\\ \mathrm{N/m}.
    Observação importante (que afeta o método): o enunciado não fornece dados elásticos das varetas (módulo de Young, área), portanto assumiremos que as varetas são rígidas em comparação com a mola (isto é, a mola é o único elemento que se deforma para acomodar a dilatação). Com isso, a compressão da mola será igual à soma das dilatações livres das duas varetas. Nesta etapa só identifiquei o que foi pedido e os dados; não resolvi nada ainda.

Passo 2

Relembrando a fórmula da dilatação linear (aula rápida): quando um corpo de comprimento inicial L é aquecido por \Delta T, sua dilatação (variação de comprimento) é dada por
\Delta L=\alpha\,L\,\Delta T
onde:
  • \Delta L é a variação de comprimento (em metros),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (em ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • L é o comprimento inicial (em metros),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}).
    Essa é a relação linear básica de dilatação térmica — serve bem quando \Delta T não é extremamente grande e o material se comporta linearmente.

Passo 3

Calcular a dilatação da vareta A usando a fórmula. Substituindo \alpha_A, L_A e \Delta T:
\Delta L_A=\alpha_A\,L_A\,\Delta T=1{,}5\times10^{-4}\times0{,}60\times500
Faço a conta em etapas: 0{,}60\times500=300. Então
\Delta L_A=1{,}5\times10^{-4}\times300=1{,}5\times300\times10^{-4}=450\times10^{-4}=0{,}045\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a vareta A cresceria 0{,}045\\ \mathrm{m} (4,5 cm) se não houvesse resistência.

Passo 4

Calcular a dilatação da vareta B:
\Delta L_B=\alpha_B\,L_B\,\Delta T=1{,}0\times10^{-4}\times0{,}30\times500.
Novamente em etapas: 0{,}30\times500=150. Então
\Delta L_B=1{,}0\times10^{-4}\times150=150\times10^{-4}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a vareta B cresceria 0{,}015\\ \mathrm{m} (1,5 cm) se não houvesse resistência.

Passo 5

Pela hipótese razoável (ausência de dados elásticos), a mola é o único elemento que se deforma para acomodar a dilatação. Logo a compressão total da mola x é igual à soma das dilatações livres das duas varetas:
x=\Delta L_A+\Delta L_B=0{,}045+0{,}015=0{,}060\\ \mathrm{m}.
Comentário pedagógico: se tivéssemos dados de módulo de Young e área, deveríamos montar equilíbrio compatível de deslocamentos incluindo as deformações elásticas das varetas; aqui isso não é necessário e a conta fica simples.

Passo 6

A força na mola (e, portanto, a força que comprime a mola) obedece à lei de Hooke:
F=k\,x
Substituindo k=800\\ \mathrm{N/m} e x=0{,}060\\ \mathrm{m}:
F=800\times0{,}060=48\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Verificação rápida de unidades e ordem de grandeza: x em metros, k em N/m, produto dá N. Dilatações somaram 6\\ \mathrm{cm}, força 48\\ \mathrm{N} (valor moderado), está consistente com dados.

Resposta

\;48\\ \mathrm{N}

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