41 Duas varetas A e B a
estão encostadas a duas paredes verticais. Se entre elas se encontra um mola indeformada de constante
, determine a força que irá comprimir a mola se as varetas forem aquecidas até
comprimento inicial de
é 60 cm e o de
é
.
Passo 1
O enunciado pede que determinemos a força que irá comprimir a mola quando as varetas
e
forem aquecidas de
até
. Informações dadas:
- Comprimento inicial da vareta
: . - Comprimento inicial da vareta
: . - Coeficiente de dilatação linear de
: . - Coeficiente de dilatação linear de
: . - Variação de temperatura:
. - Constante da mola:
.
Observação importante (que afeta o método): o enunciado não fornece dados elásticos das varetas (módulo de Young, área), portanto assumiremos que as varetas são rígidas em comparação com a mola (isto é, a mola é o único elemento que se deforma para acomodar a dilatação). Com isso, a compressão da mola será igual à soma das dilatações livres das duas varetas. Nesta etapa só identifiquei o que foi pedido e os dados; não resolvi nada ainda.
Passo 2
Relembrando a fórmula da dilatação linear (aula rápida): quando um corpo de comprimento inicial
é aquecido por
, sua dilatação (variação de comprimento) é dada por
onde:
-
é a variação de comprimento (em metros), -
é o coeficiente de dilatação linear (em ), -
é o comprimento inicial (em metros), -
é a variação de temperatura (em ).
Essa é a relação linear básica de dilatação térmica — serve bem quandonão é extremamente grande e o material se comporta linearmente.
Passo 3
Calcular a dilatação da vareta
usando a fórmula. Substituindo
,
e
:
Faço a conta em etapas:
. Então
Interpretação: a vareta
cresceria
(4,5 cm) se não houvesse resistência.
Passo 4
Calcular a dilatação da vareta
:
Novamente em etapas:
. Então
Interpretação: a vareta
cresceria
(1,5 cm) se não houvesse resistência.
Passo 5
Pela hipótese razoável (ausência de dados elásticos), a mola é o único elemento que se deforma para acomodar a dilatação. Logo a compressão total da mola
é igual à soma das dilatações livres das duas varetas:
Comentário pedagógico: se tivéssemos dados de módulo de Young e área, deveríamos montar equilíbrio compatível de deslocamentos incluindo as deformações elásticas das varetas; aqui isso não é necessário e a conta fica simples.
Passo 6
A força na mola (e, portanto, a força que comprime a mola) obedece à lei de Hooke:
Substituindo
e
:
Passo 7
Verificação rápida de unidades e ordem de grandeza:
em metros,
em N/m, produto dá N. Dilatações somaram
, força
(valor moderado), está consistente com dados.