36 Considere um sólido constituído de um material anisótropo. Nestes materiais os coeficientes de dilatação linear dependem geralmente da direção de observação. Em todos os cristais é possível determinar três direções perpendiculares duas a duas, tais que, um cubo de cristal com arestas paralelas a essas direções, aquecido, conserva os ângulos retos, embora os comprimentos dos lados variem desigualmente. Tais direções constituem os eixos principais de dilatação e os coeficientes de dilatação linear relativos a essas direções são chamados coeficientes de dilatação linear principais. Sejam \alpha_{x}, \alpha_{y}, e \alpha_{z} os coeficientes de dilatação linear principais de um cristal. Mostre que o coeficiente de dilatação volumétrica é dado por:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar qual é o coeficiente de dilatação volumétrica de um cristal anisótropo cujos coeficientes de dilatação linear principais são dados. Informações e o que é pedido:
  • São dados os coeficientes de dilatação linear principais \alpha_{x}, \alpha_{y} e \alpha_{z}.
  • Temos um corpo com arestas paralelas às direções principais; ao aquecer, os ângulos retos entre essas arestas são preservados (portanto o volume é simplesmente o produto dos comprimentos das arestas).
  • É pedido: expressar o coeficiente de dilatação volumétrica em função de \alpha_{x}, \alpha_{y} e \alpha_{z}.

Passo 2

Vamos recordar a lei da dilatação linear (aquela que temos de saber usar): para uma barra de comprimento inicial L e coeficiente de dilatação linear \alpha, ao variar a temperatura em \Delta T o aumento de comprimento \Delta L é dado por
\Delta L = \alpha\,L\,\Delta T.
Aqui \alpha é a medida da fração do comprimento que cresce por unidade de temperatura; mais precisamente \alpha = \dfrac{1}{L}\dfrac{\Delta L}{\Delta T} no sentido médio, ou \alpha = \dfrac{1}{L}\dfrac{dL}{dT} na forma diferencial. Essa fórmula vale para pequenas variações de temperatura e é a definição intuitiva de coeficiente linear.

Passo 3

Escolhemos um paralelepípedo cujas arestas (comprimentos) iniciais são L_x, L_y e L_z ao longo das direções principais x,y,z. O volume inicial é
V = L_x L_y L_z.
Pela hipótese do problema, ao aquecer de \Delta T cada aresta se alonga segundo seu coeficiente próprio:
L_x' = L_x\bigl(1+\alpha_x \Delta T\bigr),\qquad L_y' = L_y\bigl(1+\alpha_y \Delta T\bigr),\qquad L_z' = L_z\bigl(1+\alpha_z \Delta T\bigr).
Expliquei: usamos as fórmulas lineares acima para cada direção, porque o material é anisótropo e cada direção tem seu \alpha.

Passo 4

O novo volume após o aquecimento é o produto dos novos comprimentos (porque os ângulos continuam retos):
V' = L_x' L_y' L_z' = L_x L_y L_z \bigl(1+\alpha_x \Delta T\bigr)\bigl(1+\alpha_y \Delta T\bigr)\bigl(1+\alpha_z \Delta T\bigr).
Usando V = L_x L_y L_z, reescrevemos:
V' = V\,(1+\alpha_x \Delta T)(1+\alpha_y \Delta T)(1+\alpha_z \Delta T).

Passo 5

Multiplicamos os fatores para ver as contribuições de ordem crescente em \Delta T. Desenvolvendo o produto obtemos:
V' = V\Bigl[1 + (\alpha_x+\alpha_y+\alpha_z)\Delta T + (\alpha_x\alpha_y+\alpha_x\alpha_z+\alpha_y\alpha_z)(\Delta T)^2 + \alpha_x\alpha_y\alpha_z(\Delta T)^3\Bigr].
Portanto a variação de volume \Delta V = V'-V é
\Delta V = V\Bigl[(\alpha_x+\alpha_y+\alpha_z)\Delta T + (\alpha_x\alpha_y+\alpha_x\alpha_z+\alpha_y\alpha_z)(\Delta T)^2 + \alpha_x\alpha_y\alpha_z(\Delta T)^3\Bigr].

Passo 6

Agora definimos o coeficiente de dilatação volumétrica (o que o enunciado quer): é a razão entre a variação relativa de volume e a variação de temperatura, no limite de variação infinitesimal. Em símbolos,
\alpha_V \equiv \lim_{\Delta T\to 0}\frac{1}{V}\,\frac{\Delta V}{\Delta T}.
Substituindo a expressão de \Delta V e dividindo por V\Delta T temos
\frac{1}{V}\,\frac{\Delta V}{\Delta T} = (\alpha_x+\alpha_y+\alpha_z) + (\alpha_x\alpha_y+\alpha_x\alpha_z+\alpha_y\alpha_z)\Delta T + \alpha_x\alpha_y\alpha_z(\Delta T)^2.
Tomando o limite \Delta T\to 0, os termos que contêm \Delta T e (\Delta T)^2 vão para zero, e fica apenas a soma dos coeficientes lineares. Assim chegamos à expressão para o coeficiente volumétrico.

Passo 7

Uma demonstração alternativa, mais elegante e que usa cálculo diferencial (útil quando queremos pensar em variações infinitesimais), é escrever
\alpha_x=\frac{1}{L_x}\frac{dL_x}{dT},\qquad \alpha_y=\frac{1}{L_y}\frac{dL_y}{dT},\qquad \alpha_z=\frac{1}{L_z}\frac{dL_z}{dT}.
Tomando diferencial do log do volume V=L_xL_yL_z,
\frac{dV}{V} = \frac{dL_x}{L_x} + \frac{dL_y}{L_y} + \frac{dL_z}{L_z}.
Dividindo por dT obtemos
\frac{1}{V}\frac{dV}{dT} = \alpha_x + \alpha_y + \alpha_z,
o que mostra imediatamente que o coeficiente volumétrico (definido como \dfrac{1}{V}\dfrac{dV}{dT}) é a soma dos três coeficientes lineares. Essa forma diferencial é exata para variações infinitesimais e coincide com o resultado obtido pelo limite no desenvolvimento em potências.

Resposta

\alpha_V=\alpha_x+\alpha_y+\alpha_z

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