36 Considere um sólido constituído de um material anisótropo. Nestes materiais os coeficientes de dilatação linear dependem geralmente da direção de observação. Em todos os cristais é possível determinar três direções perpendiculares duas a duas, tais que, um cubo de cristal com arestas paralelas a essas direções, aquecido, conserva os ângulos retos, embora os comprimentos dos lados variem desigualmente. Tais direções constituem os eixos principais de dilatação e os coeficientes de dilatação linear relativos a essas direções são chamados coeficientes de dilatação linear principais. Sejam
, e
os coeficientes de dilatação linear principais de um cristal. Mostre que o coeficiente de dilatação volumétrica é dado por:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar qual é o coeficiente de dilatação volumétrica de um cristal anisótropo cujos coeficientes de dilatação linear principais são dados. Informações e o que é pedido:
- São dados os coeficientes de dilatação linear principais
, e . - Temos um corpo com arestas paralelas às direções principais; ao aquecer, os ângulos retos entre essas arestas são preservados (portanto o volume é simplesmente o produto dos comprimentos das arestas).
- É pedido: expressar o coeficiente de dilatação volumétrica em função de
, e .
Passo 2
Vamos recordar a lei da dilatação linear (aquela que temos de saber usar): para uma barra de comprimento inicial
e coeficiente de dilatação linear
, ao variar a temperatura em
o aumento de comprimento
é dado por
Aqui
é a medida da fração do comprimento que cresce por unidade de temperatura; mais precisamente
no sentido médio, ou
na forma diferencial. Essa fórmula vale para pequenas variações de temperatura e é a definição intuitiva de coeficiente linear.
Passo 3
Escolhemos um paralelepípedo cujas arestas (comprimentos) iniciais são
,
e
ao longo das direções principais
. O volume inicial é
Pela hipótese do problema, ao aquecer de
cada aresta se alonga segundo seu coeficiente próprio:
Expliquei: usamos as fórmulas lineares acima para cada direção, porque o material é anisótropo e cada direção tem seu
.
Passo 4
O novo volume após o aquecimento é o produto dos novos comprimentos (porque os ângulos continuam retos):
Usando
, reescrevemos:
Passo 5
Multiplicamos os fatores para ver as contribuições de ordem crescente em
. Desenvolvendo o produto obtemos:
Portanto a variação de volume
é
Passo 6
Agora definimos o coeficiente de dilatação volumétrica (o que o enunciado quer): é a razão entre a variação relativa de volume e a variação de temperatura, no limite de variação infinitesimal. Em símbolos,
Substituindo a expressão de
e dividindo por
temos
Tomando o limite
, os termos que contêm
e
vão para zero, e fica apenas a soma dos coeficientes lineares. Assim chegamos à expressão para o coeficiente volumétrico.
Passo 7
Uma demonstração alternativa, mais elegante e que usa cálculo diferencial (útil quando queremos pensar em variações infinitesimais), é escrever
Tomando diferencial do log do volume
,
Dividindo por
obtemos
o que mostra imediatamente que o coeficiente volumétrico (definido como
) é a soma dos três coeficientes lineares. Essa forma diferencial é exata para variações infinitesimais e coincide com o resultado obtido pelo limite no desenvolvimento em potências.