3.35 Verifique o teorema da divergência
para cada um dos seguintes casos:
e
é a superfície da fatia, definida por
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência
para o campo vetorial dado e para a região (a fatia) definida por
Informações fornecidas:
- O campo está em coordenadas cilíndricas com componentes
onde
- A superfície
é a superfície fechada da fatia (as faces: superfície cilíndrica , as duas faces radiais e , o fundo e o topo ). - Objetivo: calcular o fluxo total
(somando as contribuições de cada face, orientadas para fora) e calcular o integral de volume , e mostrar que são iguais.
Passo 2
Calcular a divergência
em coordenadas cilíndricas. Recordando a fórmula (para
):
Agora aplico a fórmula usando as componentes dadas:
- Calculo
. Então
- Calculo
- Calculo
(pois não depende de ).
Portanto
Passo 3
Montar e calcular o integral de volume
em coordenadas cilíndricas. O elemento de volume é
. Logo
Multiplico o integrando por
para simplificar:
Integro primeiro em
:
Agora integro em
de
a
:
Finalmente integro em
de
a
:
Multiplicando:
Passo 4
Agora calculo o fluxo de
através da superfície fechada
dividindo
em faces e somando as contribuições. As faces são:
-
: superfície cilíndrica , com normal (para fora). -
: face radial , com normal para fora . -
: face radial , com normal para fora . -
: topo , com normal . -
: fundo , com normal .
Vou calcular cada fluxoe somar.
Passo 5
Fluxo pela superfície cilíndrica
(
).
- Em
, o elemento de área é e normal . -
. Em isto vale . - Então
Calculo interno:
Portanto
Passo 6
Fluxo pela face radial
(
).
- Para face
const, elemento de área é . No lado o normal externo é . -
. Em temos , logo . - Assim
Passo 7
Fluxo pela face radial
(
).
- Normal externo é
. . - Em
temos , então . - O elemento de área é
. Logo
Integro em
:
portanto
Passo 8
Fluxo pelo topo
(
).
- Normal externo é
. O elemento de área é . -
. Em não muda (pois não depende de ). - Então
Integro em
:
logo
Passo 9
Fluxo pelo fundo
(
).
- Normal externo é
. Então . - Em
, (novamente independente de ). Assim . - Então
Passo 10
Somar todas as contribuições de fluxo:
Substituindo os valores calculados:
As contribuições do topo e do fundo cancelam:
Portanto resta
Passo 11
Comparação final: o integral de volume calculado no Passo 3 deu
e o fluxo total pelo contorno calculado nos Passos 5–10 deu exatamente o mesmo valor
Logo o Teorema da Divergência está verificado para este caso.