3.35 Verifique o teorema da divergência
\oint_{S} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S}=\int_{v} \nabla \cdot \mathbf{A} d v para cada um dos seguintes casos:
\mathbf{A}=2 \rho z \mathbf{a}_{\rho}+3 z \operatorname{sen} \varphi \mathbf{a}_{\varphi}-4 \rho \cos \varphi \mathbf{a}_{z} e S é a superfície da fatia, definida por 0<\rho<2,0<\varphi<45^{\circ}, 0<z<5;

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência
\oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV
para o campo vetorial dado e para a região (a fatia) definida por
0<\rho<2,\qquad 0<\varphi<45^\circ,\qquad 0<z<5.
Informações fornecidas:
  • O campo está em coordenadas cilíndricas com componentes
\mathbf{A}=A_{\rho}\mathbf{a}_{\rho}+A_{\varphi}\mathbf{a}_{\varphi}+A_{z}\mathbf{a}_{z}
onde
A_{\rho}=2\rho z,\qquad A_{\varphi}=3z\sin\varphi,\qquad A_{z}=-4\rho\cos\varphi.
  • A superfície S é a superfície fechada da fatia (as faces: superfície cilíndrica \rho=2, as duas faces radiais \varphi=0 e \varphi=\pi/4, o fundo z=0 e o topo z=5).
  • Objetivo: calcular o fluxo total \oint_S \mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} (somando as contribuições de cada face, orientadas para fora) e calcular o integral de volume \int_V \nabla\cdot\mathbf{A}\,dV, e mostrar que são iguais.

Passo 2

Calcular a divergência \nabla\cdot\mathbf{A} em coordenadas cilíndricas. Recordando a fórmula (para \mathbf{A}=A_{\rho}\mathbf{a}_{\rho}+A_{\varphi}\mathbf{a}_{\varphi}+A_{z}\mathbf{a}_{z}):
\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho A_{\rho})+\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}.
Agora aplico a fórmula usando as componentes dadas:
  • Calculo \rho A_{\rho}=\rho(2\rho z)=2\rho^{2}z. Então
\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho A_{\rho}) =\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(2\rho^{2}z) =\frac{1}{\rho}(4\rho z)=4z.
  • Calculo \frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\varphi}(3z\sin\varphi) =\frac{1}{\rho}(3z\cos\varphi)=\frac{3z\cos\varphi}{\rho}.
  • Calculo \frac{\partial A_{z}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(-4\rho\cos\varphi)=0 (pois A_z não depende de z).
    Portanto
\boxed{\nabla\cdot\mathbf{A}=4z+\frac{3z\cos\varphi}{\rho}.}

Passo 3

Montar e calcular o integral de volume \displaystyle\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV em coordenadas cilíndricas. O elemento de volume é dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz. Logo
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV =\int_{z=0}^{5}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{2}\Big(4z+\frac{3z\cos\varphi}{\rho}\Big)\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
Multiplico o integrando por \rho para simplificar:
\Big(4z+\frac{3z\cos\varphi}{\rho}\Big)\rho = 4z\rho + 3z\cos\varphi.
Integro primeiro em \rho:
\int_{0}^{2}\big(4z\rho+3z\cos\varphi\big)\,d\rho =4z\left[\frac{\rho^{2}}{2}\right]_{0}^{2} + 3z\cos\varphi\,[\rho]_{0}^{2} =4z\cdot\frac{4}{2}+3z\cos\varphi\cdot 2 =8z + 6z\cos\varphi.
Agora integro em \varphi de 0 a \pi/4:
\int_{0}^{\pi/4}\big(8z+6z\cos\varphi\big)\,d\varphi =z\left[8\varphi+6\sin\varphi\right]_{0}^{\pi/4} =z\big(8\cdot\frac{\pi}{4}+6\sin(\tfrac{\pi}{4})\big) =z\big(2\pi+6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\big) =z\big(2\pi+3\sqrt{2}\big).
Finalmente integro em z de 0 a 5:
\int_{0}^{5} z\big(2\pi+3\sqrt{2}\big)\,dz =\big(2\pi+3\sqrt{2}\big)\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{5} =\big(2\pi+3\sqrt{2}\big)\cdot\frac{25}{2}.
Multiplicando:
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV = \frac{25}{2}\big(2\pi+3\sqrt{2}\big) =25\pi+\frac{75\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Agora calculo o fluxo de \mathbf{A} através da superfície fechada S dividindo S em faces e somando as contribuições. As faces são:
  • S_{1}: superfície cilíndrica \rho=2, com normal \mathbf{a}_{\rho} (para fora).
  • S_{2}: face radial \varphi=0, com normal para fora -\mathbf{a}_{\varphi}.
  • S_{3}: face radial \varphi=\pi/4, com normal para fora +\mathbf{a}_{\varphi}.
  • S_{4}: topo z=5, com normal +\mathbf{a}_{z}.
  • S_{5}: fundo z=0, com normal -\mathbf{a}_{z}.
    Vou calcular cada fluxo \Phi_i=\iint_{S_i}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} e somar.

Passo 5

Fluxo pela superfície cilíndrica \rho=2 ( S_{1}).
  • Em \rho=2, o elemento de área é dS=\rho\,d\varphi\,dz=2\,d\varphi\,dz e normal \mathbf{a}_{\rho}.
  • \mathbf{A}\cdot\mathbf{a}_{\rho}=A_{\rho}=2\rho z. Em \rho=2 isto vale 4z.
  • Então
\Phi_{1}=\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{z=0}^{5}4z\cdot 2\,dz\,d\varphi =\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{5}8z\,dz\,d\varphi.
Calculo interno:
\int_{0}^{5}8z\,dz=8\cdot\frac{25}{2}=100.
Portanto
\Phi_{1}=100\int_{0}^{\pi/4}d\varphi=100\cdot\frac{\pi}{4}=25\pi.

Passo 6

Fluxo pela face radial \varphi=0 ( S_{2}).
  • Para face \varphi=const, elemento de área é dS=\rho\,d\rho\,dz. No lado \varphi=0 o normal externo é -\mathbf{a}_{\varphi}.
  • \mathbf{A}\cdot(-\mathbf{a}_{\varphi})=-A_{\varphi}=-3z\sin\varphi. Em \varphi=0 temos \sin 0=0, logo A_{\varphi}=0.
  • Assim
\Phi_{2}=\int_{z=0}^{5}\int_{\rho=0}^{2}0\cdot\rho\,d\rho\,dz=0.

Passo 7

Fluxo pela face radial \varphi=\pi/4 ( S_{3}).
  • Normal externo é +\mathbf{a}_{\varphi}. \mathbf{A}\cdot\mathbf{a}_{\varphi}=A_{\varphi}=3z\sin\varphi.
  • Em \varphi=\pi/4 temos \sin(\pi/4)=\frac{\sqrt{2}}{2}, então A_{\varphi}=\tfrac{3\sqrt{2}}{2}z.
  • O elemento de área é dS=\rho\,d\rho\,dz. Logo
\Phi_{3}=\int_{z=0}^{5}\int_{\rho=0}^{2}\frac{3\sqrt{2}}{2}z\cdot\rho\,d\rho\,dz.
Integro em \rho:
\int_{0}^{2}\rho\,d\rho=\frac{2^{2}}{2}=2,
portanto
\Phi_{3}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot 2\int_{0}^{5}z\,dz=3\sqrt{2}\cdot\frac{25}{2}=\frac{75\sqrt{2}}{2}.

Passo 8

Fluxo pelo topo z=5 ( S_{4}).
  • Normal externo é +\mathbf{a}_{z}. O elemento de área é dS=\rho\,d\rho\,d\varphi.
  • \mathbf{A}\cdot\mathbf{a}_{z}=A_{z}=-4\rho\cos\varphi. Em z=5 não muda (pois A_z não depende de z).
  • Então
\Phi_{4}=\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{2}(-4\rho\cos\varphi)\,\rho\,d\rho\,d\varphi =\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{2}-4\rho^{2}\cos\varphi\,d\rho\,d\varphi.
Integro em \rho:
\int_{0}^{2}\rho^{2}\,d\rho=\frac{8}{3},
logo
\Phi_{4}=-4\cdot\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/4}\cos\varphi\,d\varphi=-\frac{32}{3}\big[\sin\varphi\big]_{0}^{\pi/4} =-\frac{32}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{16\sqrt{2}}{3}.

Passo 9

Fluxo pelo fundo z=0 ( S_{5}).
  • Normal externo é -\mathbf{a}_{z}. Então \mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}= \mathbf{A}\cdot(-\mathbf{a}_{z})\,\rho\,d\rho\,d\varphi = -A_{z}\rho\,d\rho\,d\varphi.
  • Em z=0, A_{z}=-4\rho\cos\varphi (novamente independente de z). Assim -A_{z}=4\rho\cos\varphi.
  • Então
\Phi_{5}=\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{2}4\rho^{2}\cos\varphi\,d\rho\,d\varphi =4\cdot\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/4}\cos\varphi\,d\varphi =\frac{32}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{16\sqrt{2}}{3}.

Passo 10

Somar todas as contribuições de fluxo:
\oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=\Phi_{1}+\Phi_{2}+\Phi_{3}+\Phi_{4}+\Phi_{5}.
Substituindo os valores calculados:
\Phi_{1}=25\pi,\quad \Phi_{2}=0,\quad \Phi_{3}=\frac{75\sqrt{2}}{2},\quad \Phi_{4}=-\frac{16\sqrt{2}}{3},\quad \Phi_{5}=\frac{16\sqrt{2}}{3}.
As contribuições do topo e do fundo cancelam:
\Phi_{4}+\Phi_{5}=-\frac{16\sqrt{2}}{3}+\frac{16\sqrt{2}}{3}=0.
Portanto resta
\oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=25\pi+\frac{75\sqrt{2}}{2}.

Passo 11

Comparação final: o integral de volume calculado no Passo 3 deu
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV=25\pi+\frac{75\sqrt{2}}{2},
e o fluxo total pelo contorno calculado nos Passos 5–10 deu exatamente o mesmo valor
\oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=25\pi+\frac{75\sqrt{2}}{2}.
Logo o Teorema da Divergência está verificado para este caso.

Resposta

\displaystyle \oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=25\pi+\frac{75\sqrt{2}}{2}
\displaystyle \int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV=25\pi+\frac{75\sqrt{2}}{2}

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