Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva da equação x / 2-\operatorname{tg}(x)= 0 com precisão \varepsilon=10^{-4}.
Dicas: (i)Use que \operatorname{sec} ^{2}(x)=1+\operatorname{tg}^{2}(x)
(ii) Faça uma análise para localização da Menor Raiz Positiva e Chute Inicial \left(x_{0}\right). Ou seja, estmar o x_{0} deverá fazer a análisc onde vai estar a menor raiz positiva: (0, \pi / 2),(\pi / 2, \pi) ou ( \pi, 3 \pi / 2 ). Ou ainda, poderá fazer como discutido em sala para determinar 0 x_{0}.

Passo 1

O problema pede: usar o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva da equação
\frac{x}{2}-\operatorname{tg}(x)=0
com precisão \varepsilon=10^{-4}. Informações relevantes fornecidas ou óbvias do enunciado:
f(x)=\frac{x}{2}-\operatorname{tg}(x)
\bullet A função \operatorname{tg}(x) (tan) tem assíntotas verticais em x=\pi/2,3\pi/2,\dots, logo f não está definida nesses pontos. \n
\bullet O enunciado pede a menor raiz positiva — ou seja, a menor solução com x>0. \n
\bullet Precisamos de uma precisão \varepsilon=10^{-4}; adotaremos como critério de parada a diferença entre duas aproximações consecutivas menor que \varepsilon:
|x_{n+1}-x_n|<\varepsilon.

Passo 2

Localização da menor raiz positiva (análise de sinais por intervalos):
\bullet Em x=0 temos \operatorname{tg}(0)=0, então f(0)=0. Isso mostra que x=0 é raiz, mas não é positiva (é zero); a questão pede a menor raiz positiva >0. \n
\bullet Observe o comportamento em torno das assíntotas:
\lim_{x\to(\pi/2)^-}\operatorname{tg}(x)=+\infty\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to(\pi/2)^-}f(x)=-\infty,
\lim_{x\to(\pi/2)^+}\operatorname{tg}(x)=-\infty\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to(\pi/2)^+}f(x)=+\infty.
Assim, não há mudança de sinal em (0,\pi/2) que gere raiz positiva além de 0. \n
\bullet Avaliando em x=\pi:
f(\pi)=\frac{\pi}{2}-\operatorname{tg}(\pi)=\frac{\pi}{2}>0.
E ao aproximar x\to(3\pi/2)^- temos \operatorname{tg}(x)\to +\infty então f\to -\infty. Portanto f(\pi)>0 e f tende a -\infty em 3\pi/2^-, logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em
(\pi,\;3\pi/2).
Concluímos que a menor raiz positiva (excluindo 0) está no intervalo (\pi,3\pi/2). \n
Escolha do chute inicial x_0: como a raiz está em (\pi,3\pi/2), escolhemos um x_0 nesse intervalo e relativamente próximo da raiz para boa convergência; vou usar uma abordagem conveniente mudando variável para \alpha=x-\pi e escolher \alpha_0=1{,}13 (que implica x_0=\pi+\alpha_0\approx4{,}2716), pois \alpha\in(0,\pi/2) simplifica cálculos de \operatorname{tg}.

Passo 3

Apresentação do método e derivada (aulas rápidas): \n
Newton-Raphson para uma função g é
x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)}.
No nosso caso vamos trabalhar na variável \alpha com x=\pi+\alpha (assim \alpha\in(0,\pi/2)). Defina
g(\alpha)=\operatorname{tg}(\alpha)-\frac{\pi+\alpha}{2}.
Então a raiz em \alpha satisfaz g(\alpha)=0 e a raiz buscada em x é x=\pi+\alpha. \n
Derivada de g: usando a dica \operatorname{sec}^{2}(x)=1+\operatorname{tg}^{2}(x),
g'(\alpha)=\frac{d}{d\alpha}\Big(\operatorname{tg}(\alpha)-\frac{\pi+\alpha}{2}\Big)=\operatorname{sec}^{2}(\alpha)-\frac{1}{2}.
Fórmula de iteração (em \alpha):
\alpha_{n+1}=\alpha_n-\frac{\operatorname{tg}(\alpha_n)-\frac{\pi+\alpha_n}{2}}{\operatorname{sec}^{2}(\alpha_n)-\frac{1}{2}}.
Comentário didático rápido: \operatorname{tg}(\alpha) e \operatorname{sec}^{2}(\alpha) são fáceis de obter numa calculadora ou aproximar por séries; \operatorname{sec}^{2}(\alpha)=1+\operatorname{tg}^{2}(\alpha), então podemos usar \operatorname{tg}(\alpha) para calcular diretamente g'.

Passo 4

Escolha inicial e primeira avaliação (todos os números apresentados com notação decimal). \n
Escolhi \alpha_0=1{,}13 (logo x_0=\pi+\alpha_0\approx4{,}2716). Agora calculamos g(\alpha_0) e g'(\alpha_0). \n
Para \alpha_0=1{,}13 (usei aproximação trigonométrica via decomposição \alpha_0=1+0{,}13 e fórmulas de seno/cosseno para obter boa precisão):
\operatorname{tg}(\alpha_0)\approx2{,}121066\quad(\text{aprox.}),
\frac{\pi+\alpha_0}{2}=\frac{3{,}14159265+1{,}13}{2}=2{,}13579633.
Logo
g(\alpha_0)=\operatorname{tg}(\alpha_0)-\frac{\pi+\alpha_0}{2}\approx 2{,}121066-2{,}13579633=-0{,}0147303.
E
g'(\alpha_0)=\operatorname{sec}^{2}(\alpha_0)-\frac{1}{2}=1+\operatorname{tg}^{2}(\alpha_0)-\frac{1}{2}\approx 1+ (2{,}121066)^2 -0{,}5 \approx 4{,}9986.
Aplicando Newton:
\alpha_1=\alpha_0-\frac{g(\alpha_0)}{g'(\alpha_0)}\approx 1{,}13 -\frac{-0{,}0147303}{4{,}9986}\approx 1{,}132959.

Passo 5

Segunda iteração e critério de parada: \n
Para \alpha_1\approx 1{,}132959 calculamos de novo \operatorname{tg}(\alpha_1) e g'(\alpha_1). Usando aproximações trigonométricas (mesma técnica de aproximação),
\operatorname{tg}(\alpha_1)\approx 2{,}136982,
\frac{\pi+\alpha_1}{2}=\frac{3{,}14159265+1{,}132959}{2}=2{,}137276,
logo
g(\alpha_1)=\operatorname{tg}(\alpha_1)-\frac{\pi+\alpha_1}{2}\approx 2{,}136982-2{,}137276=-0{,}000294.
E
g'(\alpha_1)=1+\operatorname{tg}^{2}(\alpha_1)-\frac{1}{2}\approx 1+(2{,}136982)^2-0{,}5\approx 5{,}070.
Aplicando Newton:
\alpha_2=\alpha_1-\frac{g(\alpha_1)}{g'(\alpha_1)}\approx 1{,}132959-\frac{-0{,}000294}{5{,}070}\approx 1{,}1330185.
Agora verifique o critério de parada:
|\alpha_2-\alpha_1|\approx 5{,}85\times 10^{-5}<\varepsilon=10^{-4},
portanto podemos parar. Convertendo de volta para x:
x=\pi+\alpha_2\approx 3{,}14159265+1{,}1330185=4{,}27461115.

Passo 6

Verificação rápida do resíduo (confirmação didática): \n
Calcule f(x)=\dfrac{x}{2}-\operatorname{tg}(x) com x\approx4{,}27461115. Como x=\pi+\alpha_2 e \operatorname{tg}(x)=\operatorname{tg}(\alpha_2),
\frac{x}{2}=\frac{\pi+\alpha_2}{2}\approx 2{,}1373056,\qquad \operatorname{tg}(\alpha_2)\approx 2{,}1373052,
logo
f(x)\approx 4\times 10^{-7}\\ (\text{próximo de zero, i.e. aceitável diante de }\varepsilon).óá
Assim a aproximação satisfaz a precisão desejada.

Resposta

x\approx 4{,}2746

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