Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva da equação
0 com precisão
.
Dicas: (i)Use que
(ii) Faça uma análise para localização da Menor Raiz Positiva e Chute Inicial
. Ou seja, estmar o
deverá fazer a análisc onde vai estar a menor raiz positiva:
ou (
). Ou ainda, poderá fazer como discutido em sala para determinar
.
Dicas: (i)Use que
(ii) Faça uma análise para localização da Menor Raiz Positiva e Chute Inicial
Passo 1
O problema pede: usar o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva da equação
com precisão
. Informações relevantes fornecidas ou óbvias do enunciado:
Passo 2
Localização da menor raiz positiva (análise de sinais por intervalos):
Em
temos
, então
. Isso mostra que
é raiz, mas não é positiva (é zero); a questão pede a menor raiz positiva
. \n
Observe o comportamento em torno das assíntotas:
Assim, não há mudança de sinal em
que gere raiz positiva além de
. \n
Avaliando em
:
E ao aproximar
temos
então
. Portanto
e
tende a
em
, logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em
Concluímos que a menor raiz positiva (excluindo
) está no intervalo
. \n
Escolha do chute inicial : como a raiz está em
, escolhemos um
nesse intervalo e relativamente próximo da raiz para boa convergência; vou usar uma abordagem conveniente mudando variável para
e escolher
(que implica
), pois
simplifica cálculos de
.
Escolha do chute inicial
Passo 3
Apresentação do método e derivada (aulas rápidas): \n
Newton-Raphson para uma função é
Newton-Raphson para uma função
No nosso caso vamos trabalhar na variável
com
(assim
). Defina
Então a raiz em
satisfaz
e a raiz buscada em
é
. \n
Derivada de : usando a dica
,
Derivada de
Fórmula de iteração (em
):
Comentário didático rápido:
e
são fáceis de obter numa calculadora ou aproximar por séries;
, então podemos usar
para calcular diretamente
.
Passo 4
Escolha inicial e primeira avaliação (todos os números apresentados com notação decimal). \n
Escolhi (logo
). Agora calculamos
e
. \n
Para (usei aproximação trigonométrica via decomposição
e fórmulas de seno/cosseno para obter boa precisão):
Escolhi
Para
Logo
E
Aplicando Newton:
Passo 5
Segunda iteração e critério de parada: \n
Para calculamos de novo
e
. Usando aproximações trigonométricas (mesma técnica de aproximação),
Para
logo
E
Aplicando Newton:
Agora verifique o critério de parada:
portanto podemos parar. Convertendo de volta para
:
Passo 6
Verificação rápida do resíduo (confirmação didática): \n
Calcule com
. Como
e
,
Calcule
logo
Assim a aproximação satisfaz a precisão desejada.