3.35 Verifique o teorema da divergência
para cada um dos seguintes casos:
e
é a superfície de um cubóide, definido por
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar o teorema da divergência
para o campo
e para a superfície
que é a fronteira do cubo definido por
. Informações relevantes dadas:
- O campo vetorial é
. - O volume
é o cubóide (neste caso um cubo unitário) com variando de a . - A superfície
é a superfície fechada do cubo; a orientação do elemento de superfície é a normal para fora do volume.
O objetivo é calcular explicitamente os dois lados da igualdade e mostrar que coincidem.
Passo 2
Vamos calcular o lado direito: a integral volumétrica da divergência. Primeiro, o que é divergência? Em coordenadas cartesianas, para um campo
,
Cada derivada parcial indica quanto o componente correspondente contribui para “saída” local do campo. Aplicando ao nosso
:
Calculemos cada termo:
Somando,
Passo 3
Agora a integral volumétrica:
Explique o porquê da separação: a integranda depende só de
, portanto podemos separar as integrais em
,
e
. Calcule passo a passo:
Cada integral fácil:
Logo
Passo 4
Agora calculamos o lado esquerdo: o fluxo
através das seis faces do cubo. Ideia: somar o fluxo em cada face. Em cada face,
com
a normal unitária apontando para fora. Vamos enumerar as faces e calcular:
Face 1:
. Normal para fora:
. No ponto
,
. Então
fluxo desta face é
Face 2:
. Normal:
. Em
,
. Então o fluxo é
Calcule:
Face 3:
. Normal:
. Em
,
. Assim,
fluxo desta face é
.
Face 4:
. Normal:
. Em
,
. Fluxo:
Face 5:
. Normal:
. Em
,
. Fluxo
.
Face 6:
. Normal:
. Em
,
. Fluxo:
Passo 5
Somando os fluxos das seis faces:
Portanto o fluxo total pela superfície
é
, que coincide com a integral volumétrica encontrada no Passo 3.
Resposta
Fluxo pela superfície
:
Integral volumétrica :
Integral volumétrica