3.35 Verifique o teorema da divergência
\oint_{S} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S}=\int_{v} \nabla \cdot \mathbf{A} d v para cada um dos seguintes casos:
\mathbf{A}=x y^{2} \mathbf{a}_{x}+y^{3} \mathbf{a}_{y}+y^{2} z \mathbf{a}_{z} e S é a superfície de um cubóide, definido por 0<x<1,0<y<1,0<z<1;

Passo 1

O enunciado pede para verificar o teorema da divergência
\oint_{S} \mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV
para o campo \mathbf{A}=x y^{2}\,\mathbf{a}_{x}+y^{3}\,\mathbf{a}_{y}+y^{2}z\,\mathbf{a}_{z} e para a superfície S que é a fronteira do cubo definido por 0<x<1,\;0<y<1,\;0<z<1. Informações relevantes dadas:
  • O campo vetorial é \mathbf{A}=x y^{2}\,\mathbf{a}_{x}+y^{3}\,\mathbf{a}_{y}+y^{2}z\,\mathbf{a}_{z}.
  • O volume V é o cubóide (neste caso um cubo unitário) com x,y,z variando de 0 a 1.
  • A superfície S é a superfície fechada do cubo; a orientação do elemento de superfície d\mathbf{S} é a normal para fora do volume.
    O objetivo é calcular explicitamente os dois lados da igualdade e mostrar que coincidem.

Passo 2

Vamos calcular o lado direito: a integral volumétrica da divergência. Primeiro, o que é divergência? Em coordenadas cartesianas, para um campo \mathbf{A}=A_x\,\mathbf{a}_x+A_y\,\mathbf{a}_y+A_z\,\mathbf{a}_z,
\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}.
Cada derivada parcial indica quanto o componente correspondente contribui para “saída” local do campo. Aplicando ao nosso \mathbf{A}:
A_x=x y^{2},\quad A_y=y^{3},\quad A_z=y^{2}z.
Calculemos cada termo:
\frac{\partial A_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!(x y^{2})=y^{2},
\frac{\partial A_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!(y^{3})=3y^{2},
\frac{\partial A_z}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\!(y^{2}z)=y^{2}.
Somando,
\nabla\cdot\mathbf{A}=y^{2}+3y^{2}+y^{2}=5y^{2}.

Passo 3

Agora a integral volumétrica:
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}5y^{2}\,dx\,dy\,dz.
Explique o porquê da separação: a integranda depende só de y, portanto podemos separar as integrais em x, y e z. Calcule passo a passo:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}5y^{2}\,dx\,dy\,dz =5\left(\int_{0}^{1}dx\right)\left(\int_{0}^{1}y^{2}\,dy\right)\left(\int_{0}^{1}dz\right).
Cada integral fácil:
\int_{0}^{1}dx=1,\qquad \int_{0}^{1}dz=1,\qquad \int_{0}^{1}y^{2}\,dy=\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
Logo
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV=5\cdot 1\cdot\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{5}{3}.

Passo 4

Agora calculamos o lado esquerdo: o fluxo \oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} através das seis faces do cubo. Ideia: somar o fluxo em cada face. Em cada face, d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS com \mathbf{n} a normal unitária apontando para fora. Vamos enumerar as faces e calcular:
Face 1: x=0. Normal para fora: \mathbf{n}=-\mathbf{a}_{x}. No ponto x=0, A_x=0. Então
\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}=A_x(-1)=0,
fluxo desta face é
\iint_{0}^{1}\iint_{0}^{1}0\,dy\,dz=0.
Face 2: x=1. Normal: \mathbf{n}=+\mathbf{a}_{x}. Em x=1, A_x=1\cdot y^{2}=y^{2}. Então o fluxo é
\iint_{0}^{1}\iint_{0}^{1}A_x\,dy\,dz=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y^{2}\,dy\,dz.
Calcule:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y^{2}\,dy\,dz=\left(\int_{0}^{1}y^{2}\,dy\right)\left(\int_{0}^{1}dz\right)=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.
Face 3: y=0. Normal: \mathbf{n}=-\mathbf{a}_{y}. Em y=0, A_y=0. Assim,
\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}=A_y(-1)=0,
fluxo desta face é 0.
Face 4: y=1. Normal: \mathbf{n}=+\mathbf{a}_{y}. Em y=1, A_y=1^{3}=1. Fluxo:
\iint_{0}^{1}\iint_{0}^{1}A_y\,dx\,dz=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}1\,dx\,dz=1\cdot 1=1.
Face 5: z=0. Normal: \mathbf{n}=-\mathbf{a}_{z}. Em z=0, A_z=y^{2}\cdot 0=0. Fluxo 0.
Face 6: z=1. Normal: \mathbf{n}=+\mathbf{a}_{z}. Em z=1, A_z=y^{2}. Fluxo:
\iint_{0}^{1}\iint_{0}^{1}A_z\,dx\,dy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y^{2}\,dx\,dy=\left(\int_{0}^{1}dx\right)\left(\int_{0}^{1}y^{2}\,dy\right)=1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Somando os fluxos das seis faces:
0+\frac{1}{3}+0+1+0+\frac{1}{3}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}.
Portanto o fluxo total pela superfície S é \frac{5}{3}, que coincide com a integral volumétrica encontrada no Passo 3.

Resposta

Fluxo pela superfície S: \dfrac{5}{3}
Integral volumétrica \int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV: \dfrac{5}{3}

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