3.35 Verifique o teorema da divergência
\oint_{S} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S}=\int_{v} \nabla \cdot \mathbf{A} d v para cada um dos seguintes casos:
\mathbf{A}=r^{2} \mathbf{a}_{r}+r \operatorname{sen} \theta \cos \varphi \mathbf{a}_{\theta} e S é a superfície de um quarto de uma esfera, definida por 0<r<3,0<\varphi<\pi / 2,0<\theta<\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade
\oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV
para o campo vetorial dado e para a região especificada. Dados e pedidos, listados claramente:
  • O campo vetorial é \mathbf{A} = r^{2}\,\mathbf{a}_{r} + r\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{\theta}.
  • A região volumétrica V (e sua superfície fechada S) é definida por 0 \le r \le 3,\qquad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},\qquad 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}.(ou seja, os limites angulares vão de 0 a \pi/2 em \theta e \varphi.)
  • Objetivo: calcular o integral de volume do divergente \nabla\cdot\mathbf{A} sobre V e calcular o fluxo de \mathbf{A} através de toda a superfície fechada S (soma das faces), e mostrar que os dois resultados coincidem.
Não inicio ainda nenhum cálculo; apenas organizei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos calcular o divergente \nabla\cdot\mathbf{A} em coordenadas esféricas (convencional: \theta é o ângulo polar, \varphi o azimutal). A fórmula do divergente em coordenadas esféricas, para um vetor com componentes (A_{r},A_{\theta},A_{\varphi}) nas direções \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi}, é
\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}A_{r}\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,A_{\theta}\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}.
Explico cada termo: o primeiro trata da variação radial (com o fator r^{2} da geometria), o segundo trata da variação ao longo do ângulo polar \theta com o fator \sin\theta, e o terceiro é a variação azimutal.
No nosso caso:
A_{r}=r^{2},\qquad A_{\theta}=r\sin\theta\cos\varphi,\qquad A_{\varphi}=0.
Agora calculamos cada termo da fórmula.

Passo 3

Cálculo do primeiro termo do divergente:
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}A_{r}\big) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2}\cdot r^{2}\big) =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{4}\big) =\frac{1}{r^{2}}\cdot 4r^{3}=4r.
Expliquei: multipliquei A_{r} por r^{2}, derivei em relação a r e dividi por r^{2}.

Passo 4

Cálculo do segundo termo do divergente:
Primeiro formo \sin\theta\,A_{\theta}:
\sin\theta\,A_{\theta}=\sin\theta\cdot\big(r\sin\theta\cos\varphi\big)=r\sin^{2}\theta\cos\varphi.
Agora derivo em relação a \theta:
\frac{\partial}{\partial\theta}\big(r\sin^{2}\theta\cos\varphi\big) = r\cdot 2\sin\theta\cos\theta\cos\varphi = 2r\sin\theta\cos\theta\cos\varphi.
Dividindo por r\sin\theta (conforme a fórmula):
\frac{1}{r\sin\theta}\cdot 2r\sin\theta\cos\theta\cos\varphi = 2\cos\theta\cos\varphi.
O terceiro termo é zero porque A_{\varphi}=0:
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi}=0.

Passo 5

Somando os termos, obtemos o divergente:
\nabla\cdot\mathbf{A}=4r + 2\cos\theta\cos\varphi.
Isso significa que, para verificar o teorema, devemos calcular
\int_{V}\big(4r + 2\cos\theta\cos\varphi\big)\,dV,
onde o elemento de volume em esféricas é
dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 6

Agora montamos o integral de volume e separamos em duas partes (uma para cada termo do divergente):
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV =\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{3}\big(4r+2\cos\theta\cos\varphi\big)r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Separei em
I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3}4r^{3}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi \quad\text{e}\quad I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3}2r^{2}\cos\theta\cos\varphi\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 7

Calculo de I_{1}:
  • Integral em r:
\int_{0}^{3}4r^{3}\,dr = 4\cdot\frac{3^{4}}{4}=3^{4}=81.
  • Integral angular:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =\Big(\int_{0}^{\pi/2}d\varphi\Big)\Big(\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta\Big) =\frac{\pi}{2}\cdot 1=\frac{\pi}{2}.
Portanto
I_{1}=81\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{81\pi}{2}.
Expliquei: a integral em \theta de \sin\theta de 0 a \pi/2 vale 1.

Passo 8

Calculo de I_{2}:
  • Integral em r:
\int_{0}^{3}2r^{2}\,dr = 2\cdot\frac{3^{3}}{3}=2\cdot 9=18.
  • Integral angular separável:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\cos\varphi\,d\theta\,d\varphi =\Big(\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\,d\varphi\Big)\Big(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\Big).
Calculando cada uma:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\,d\varphi = \sin\varphi\Big|_{0}^{\pi/2}=1,
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\sin^{2}\theta\Big|_{0}^{\pi/2}=\frac{1}{2}.
Logo a integral angular vale 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. Multiplicando pelo fator em r:
I_{2}=18\cdot\frac{1}{2}=9.

Passo 9

Somando I_{1} e I_{2} obtemos o integral de volume:
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV = \frac{81\pi}{2} + 9.
Esse é o lado direito da igualdade do teorema (integral de volume). Agora vamos calcular o fluxo através da superfície fechada S e verificar que dá o mesmo.

Passo 10

Descrição das faces que compõem a superfície fechada S do volume:
  • Face esférica: superfície em r=3 com 0\le\theta\le\pi/2,\;0\le\varphi\le\pi/2.
  • Face no plano \varphi=0 (parede radial).
  • Face no plano \varphi=\pi/2 (outra parede radial).
  • Face no plano \theta=\pi/2 (plano z=0, “base” do setor).
  • A face \theta=0 é degenerada (é o eixo) e não contribui área.
    Vamos calcular o fluxo através de cada face e somar.

Passo 11

Fluxo através da face esférica r=3:
  • Para r= constante, o elemento de área vetorial é d\mathbf{S}= \mathbf{a}_{r}\,r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi (normal externo é \mathbf{a}_{r}).
  • \mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=A_{r}\,r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
  • Em r=3, A_{r}=r^{2}=9, então
\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}\Big|_{r=3} = 9\cdot 9\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =81\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
  • Integramos sobre \theta e \varphi:
\Phi_{r=3}=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}81\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =81\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{81\pi}{2}.

Passo 12

Fluxo através das faces \varphi=0 e \varphi=\pi/2:
  • Essas superfícies têm normal na direção \pm\mathbf{a}_{\varphi}. Como \mathbf{A} não tem componente A_{\varphi} (tem apenas A_{r} e A_{\theta}), o produto escalar \mathbf{A}\cdot\mathbf{a}_{\varphi}=0.
  • Portanto o fluxo através de ambas as faces vale zero:
\Phi_{\varphi=0}=\Phi_{\varphi=\pi/2}=0.

Passo 13

Fluxo através da face \theta=\pi/2 (a “base” no plano z=0):
  • Para \theta= constante, o elemento de área vetorial é d\mathbf{S} = \pm \mathbf{a}_{\theta}\,r\sin\theta\,dr\,d\varphi. O sinal depende da direção do normal externo. Para nosso volume (0 \le\theta\le\pi/2), a face em \theta=\pi/2 tem normal externo no sentido de aumentar \theta, isto é, na direção +\mathbf{a}_{\theta}.
  • Portanto d\mathbf{S}=\mathbf{a}_{\theta}\,r\sin\theta\,dr\,d\varphi.
  • O produto escalar é \mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=A_{\theta}\,r\sin\theta\,dr\,d\varphi.
  • No nosso campo, A_{\theta}=r\sin\theta\cos\varphi. Avaliando em \theta=\pi/2 (onde \sin\theta=1):
A_{\theta}\big|_{\theta=\pi/2}=r\cdot 1\cdot\cos\varphi = r\cos\varphi.
  • Também \sin\theta=1, então
\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}\Big|_{\theta=\pi/2} = (r\cos\varphi)\cdot r\cdot 1\,dr\,d\varphi = r^{2}\cos\varphi\,dr\,d\varphi.
  • Integramos r de 0 a 3 e \varphi de 0 a \pi/2:
\Phi_{\theta=\pi/2}=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} r^{2}\cos\varphi\,dr\,d\varphi =\Big(\int_{0}^{3}r^{2}dr\Big)\Big(\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\,d\varphi\Big).
  • Calculando:
\int_{0}^{3}r^{2}dr=\frac{3^{3}}{3}=9,\qquad \int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\,d\varphi=1.
  • Logo
\Phi_{\theta=\pi/2}=9\cdot 1 = 9.

Passo 14

Somando os fluxos de todas as faces:
\oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} =\Phi_{r=3}+\Phi_{\varphi=0}+\Phi_{\varphi=\pi/2}+\Phi_{\theta=\pi/2} =\frac{81\pi}{2}+0+0+9 =\frac{81\pi}{2}+9.

Passo 15

Comparação final e conclusão: o integral de volume calculado anteriormente foi
\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\,dV=\frac{81\pi}{2}+9,
e o fluxo através da superfície fechada vale exatamente o mesmo:
\oint_{S}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=\frac{81\pi}{2}+9.
Portanto a igualdade do teorema da divergência foi verificada para este campo e esta região.

Resposta

\dfrac{81\pi}{2}+9

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