\oint_{S} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{S}=\int_{v} \nabla \cdot \mathbf{A} d v para cada um dos seguintes casos:
\mathbf{A}=r^{2} \mathbf{a}_{r}+r \operatorname{sen} \theta \cos \varphi \mathbf{a}_{\theta} e S é a superfície de um quarto de uma esfera, definida por 0<r<3,0<\varphi<\pi / 2,0<\theta<\pi / 2.
para o campo vetorial dado e para a região especificada. Dados e pedidos, listados claramente:
O campo vetorial é \mathbf{A} = r^{2}\,\mathbf{a}_{r} + r\sin\theta\cos\varphi\,\mathbf{a}_{\theta}.
A região volumétrica V (e sua superfície fechada S) é definida por0 \le r \le 3,\qquad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},\qquad 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}.(ou seja, os limites angulares vão de 0 a \pi/2 em \theta e \varphi.)
Objetivo: calcular o integral de volume do divergente \nabla\cdot\mathbf{A} sobre V e calcular o fluxo de \mathbf{A} através de toda a superfície fechada S (soma das faces), e mostrar que os dois resultados coincidem.
Não inicio ainda nenhum cálculo; apenas organizei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Vamos calcular o divergente \nabla\cdot\mathbf{A} em coordenadas esféricas (convencional: \theta é o ângulo polar, \varphi o azimutal). A fórmula do divergente em coordenadas esféricas, para um vetor com componentes (A_{r},A_{\theta},A_{\varphi}) nas direções \mathbf{a}_{r},\mathbf{a}_{\theta},\mathbf{a}_{\varphi}, é
Explico cada termo: o primeiro trata da variação radial (com o fator r^{2} da geometria), o segundo trata da variação ao longo do ângulo polar \theta com o fator \sin\theta, e o terceiro é a variação azimutal.
Esse é o lado direito da igualdade do teorema (integral de volume). Agora vamos calcular o fluxo através da superfície fechada S e verificar que dá o mesmo.
Passo 10
Descrição das faces que compõem a superfície fechada S do volume:
Face esférica: superfície em r=3 com 0\le\theta\le\pi/2,\;0\le\varphi\le\pi/2.
Face no plano \varphi=0 (parede radial).
Face no plano \varphi=\pi/2 (outra parede radial).
Face no plano \theta=\pi/2 (plano z=0, “base” do setor).
A face \theta=0 é degenerada (é o eixo) e não contribui área.
Vamos calcular o fluxo através de cada face e somar.
Passo 11
Fluxo através da face esférica r=3:
Para r= constante, o elemento de área vetorial é d\mathbf{S}= \mathbf{a}_{r}\,r^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi (normal externo é \mathbf{a}_{r}).
Fluxo através das faces \varphi=0 e \varphi=\pi/2:
Essas superfícies têm normal na direção \pm\mathbf{a}_{\varphi}. Como \mathbf{A} não tem componente A_{\varphi} (tem apenas A_{r} e A_{\theta}), o produto escalar \mathbf{A}\cdot\mathbf{a}_{\varphi}=0.
Portanto o fluxo através de ambas as faces vale zero:
\Phi_{\varphi=0}=\Phi_{\varphi=\pi/2}=0.
Passo 13
Fluxo através da face \theta=\pi/2 (a “base” no plano z=0):
Para \theta= constante, o elemento de área vetorial é d\mathbf{S} = \pm \mathbf{a}_{\theta}\,r\sin\theta\,dr\,d\varphi. O sinal depende da direção do normal externo. Para nosso volume (0 \le\theta\le\pi/2), a face em \theta=\pi/2 tem normal externo no sentido de aumentar \theta, isto é, na direção +\mathbf{a}_{\theta}.