Estude a continuidade, a existência das suas derivadas parciais e da diferenciabilidade das seguintes funções no ponto (0,0)\). \(f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & \text { si }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { si }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede que eu estude, no ponto (0,0):\n
  1. a continuidade de f em (0,0);\n
  2. a existência das derivadas parciais \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0);\n
  3. a diferenciabilidade de f em (0,0).\n
    Também foram fornecidas implicitamente todas as expressões necessárias para calcular limites e derivadas a partir da definição.]

Passo 2

Definição de continuidade e estratégia prática.\n
Para ser contínua em (0,0) precisamos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Na prática, testamos limites por várias curvas que tendem a (0,0). Se acharmos duas curvas com limites diferentes, o limite total não existe e f é descontínua. Vou calcular f ao longo de curvas do tipo (x,y)=(a y^{2},y) (parábolas cujo x escala como y^{2}), porque o denominador tem x^{2}+y^{4} e isso costuma ser crítico.
Substituindo x=a y^{2} (com a constante) em f para y\neq0:
f(a y^{2},y)=\frac{2 (a y^{2}) y^{2}}{(a y^{2})^{2}+y^{4}} =\frac{2 a y^{4}}{a^{2} y^{4}+y^{4}} =\frac{2 a}{a^{2}+1}.
Observação: dentro do cálculo eu cancelei o fator comum y^{4} no numerador e denominador (válido para y\neq0).
Logo, quando (x,y)\to(0,0) seguindo a curva x=a y^{2} o valor de f tende a \displaystyle \frac{2 a}{a^{2}+1}, que depende de a.

Passo 3

Concluir continuidade usando os resultados do passo anterior.\n
Escolhendo a=0 (isto é, a curva x=0) obtemos \displaystyle \frac{2\cdot 0}{0^{2}+1}=0. Isso é coerente com f(0,0)=0. Porém, escolhendo a=1 (a curva x=y^{2}) obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0),(x,y)=(y^{2},y)} f(x,y)=\frac{2\cdot 1}{1^{2}+1}=1.
Como um caminho dá limite 0 e outro dá limite 1, o limite total \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) não existe. Portanto f não é contínua em (0,0).
Comentário motivador: achar dependência de parâmetro a mostra de forma elegante que o limite não é único — ótima técnica para provas.

Passo 4

Definição de derivada parcial e cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0).\n
A derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é, por definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-0}{h}.
Para y=0 a expressão de f (quando x\neq0) é
f(x,0)=\frac{2 x \cdot 0^{2}}{x^{2}+0^{4}}=0.
Logo para todo h\neq0 temos f(h,0)=0, e
\frac{f(h,0)-0}{h}=\frac{0}{h}=0.
Tomando o limite h\to0 obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).\n
A derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-0}{h}.
Para x=0 e h\neq0,
f(0,h)=\frac{2\cdot 0\cdot h^{2}}{0^{2}+h^{4}}=0.
Assim \displaystyle \frac{f(0,h)-0}{h}=0 para todo h\neq0, e tomando limite obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Pequena nota didática: é comum que funções com fator y^{2} no numerador apresentem derivada parcial em y nula quando avaliadas com a outra coordenada fixa em zero — porque a função se anula nessa linha.

Passo 6

Diferenciabilidade em (0,0): definição, implicação com continuidade e conclusão.\n
Definição prática: f é diferenciável em (0,0) se existe uma forma linear L(x,y)=A x+B y tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Quando as derivadas parciais existem, o candidato natural é L(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\,x+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\,y. Aqui já calculamos que ambos são zero, então o candidato é L\equiv 0. Para ser diferenciável com esse L seria necessário
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Mas antes de tentar esse limite, lembro de um fato fundamental: diferenciabilidade implica continuidade. Como no

Passo 7

Se quiser ver explicitamente a falha com o candidato L=0: tomando a curva x=y^{2} obtinha f(y^{2},y)=1 (para y\neq0), então
\frac{f(y^{2},y)-0}{\sqrt{(y^{2})^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{y^{4}+y^{2}}}=\frac{1}{|y|\sqrt{1+y^{2}}}\to+\infty
quando y\to0. Isso confirma que o quociente não tende a 0, logo falta a condição necessária para diferenciabilidade.

Resposta

Função não é contínua em (0,0).\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.\n
Função não é diferenciável em (0,0).

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