No sistema massa-mola representado abaixo, o bloco é liberado a partir da posição +A (amplitude). (a) Após quanto tempo, em função do período de oscilação T, o bloco terá energia cinética igual à energia potencial elástica da mola? (b) Qual será a distância da origem, em função da amplitude A, nesse instante?

Passo 1

O enunciado dá um bloco preso a uma mola, liberado da posição +A (amplitude). O bloco começa em repouso em t=0 em x=+A e oscila em movimento harmônico simples. As perguntas são:
  1. (a) Após quanto tempo, em função do período T, o bloco terá energia cinética igual à energia potencial elástica da mola?
  2. (b) Qual será a distância da origem, em função da amplitude A, nesse instante?
Informações relevantes fornecidas:
  • Amplitude inicial: A.
  • O bloco é liberado de x=+A com velocidade inicial zero.
  • Período de oscilação: T.
  • Energia cinética do bloco: K=\tfrac{1}{2}mv^{2}.
  • Energia potencial da mola: U=\tfrac{1}{2}kx^{2}.
    Nenhuma outra informação numérica foi dada; usaremos as relações do movimento harmônico simples e conservação de energia.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar a conservação da energia mecânica no sistema massa-mola, que é essencial aqui. Em movimento sem atrito, a energia total E é constante e é soma de energia cinética K e potencial elástica U:
E = K + U.
Explicando cada termo:
  • m é a massa do bloco.
  • v é a velocidade do bloco em um dado instante.
  • k é a constante elástica da mola.
  • x é a posição instantânea medida a partir da origem (ponto de equilíbrio).
    As fórmulas são
K = \tfrac{1}{2} m v^{2}
e
U = \tfrac{1}{2} k x^{2}.
No instante inicial t=0 temos x=A e v=0, logo a energia total inicial é
E = \tfrac{1}{2} k A^{2}.
Essa energia se conserva durante a oscilação.

Passo 3

Agora usemos a condição pedida: queremos o instante em que a energia cinética é igual à energia potencial elástica da mola. Escrevendo isso:
K = U.
Usando as expressões,
\tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2} k x^{2}.
Podemos também usar conservação de energia para expressar K em função de x. Da conservação:
\tfrac{1}{2} m v^{2} + \tfrac{1}{2} k x^{2} = \tfrac{1}{2} k A^{2}.
Isolando K=\tfrac{1}{2} m v^{2} obtemos
K = \tfrac{1}{2} k (A^{2} - x^{2}).

Passo 4

Agora imponha K=U usando a expressão acima:
\tfrac{1}{2} k (A^{2} - x^{2}) = \tfrac{1}{2} k x^{2}.
Cancelamos \tfrac{1}{2}k (não nulo) e obtemos
A^{2} - x^{2} = x^{2}.
Somando x^{2} dos dois lados:
A^{2} = 2x^{2}.
Logo a posição x que satisfaz a condição é
x = \frac{A}{\sqrt{2}}.
Isto responde a parte da pergunta (b): a distância da origem no instante procurado é A/\sqrt{2}. (Escolhemos o valor positivo porque a distância é solicitada.)

Passo 5

Agora precisamos do tempo correspondente a essa posição. Para isso usamos a solução do movimento harmônico simples quando o bloco é liberado de x=+A com v(0)=0. A solução da posição é
x(t) = A \cos(\omega t),
onde \omega é a frequência angular. Explicando:
  • \omega relaciona-se com o período T por \omega = \dfrac{2\pi}{T}.
  • x(t) dá a posição no tempo t medida a partir da origem; a condição x(0)=A garante o fator \cos(\omega t).

Passo 6

Imponha x(t)=\dfrac{A}{\sqrt{2}}. Substituindo na expressão do movimento:
A \cos(\omega t) = \frac{A}{\sqrt{2}}.
Cancelando A (assumimos A\neq 0):
\cos(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Sabemos que \cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}} ocorre para \theta = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n ou \theta = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n. Como buscamos o primeiro instante positivo após a liberação t=0, tomamos a menor solução positiva:
\omega t = \frac{\pi}{4}.

Passo 7

Agora isolamos t. Usando \omega = \dfrac{2\pi}{T},
t = \frac{\pi/4}{\omega} = \frac{\pi/4}{2\pi/T}.
Fazendo a conta passo a passo:
t = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{8}.
Portanto o instante pedido, em função do período T, é t=\dfrac{T}{8}. Essa é a primeira vez que K=U após a liberação (há repetições periódicas a cada meio período apropriado, mas a menor t>0 é T/8).

Resposta

(a) \dfrac{T}{8}
(b) \dfrac{A}{\sqrt{2}}

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