No sistema massa-mola representado abaixo, o bloco é liberado a partir da posição
(amplitude). (a) Após quanto tempo, em função do período de oscilação
, o bloco terá energia cinética igual à energia potencial elástica da mola? (b) Qual será a distância da origem, em função da amplitude
, nesse instante?
Passo 1
O enunciado dá um bloco preso a uma mola, liberado da posição
(amplitude). O bloco começa em repouso em
em
e oscila em movimento harmônico simples. As perguntas são:
- (a) Após quanto tempo, em função do período
, o bloco terá energia cinética igual à energia potencial elástica da mola? - (b) Qual será a distância da origem, em função da amplitude
, nesse instante?
Informações relevantes fornecidas:
- Amplitude inicial:
. - O bloco é liberado de
com velocidade inicial zero. - Período de oscilação:
. - Energia cinética do bloco:
. - Energia potencial da mola:
.
Nenhuma outra informação numérica foi dada; usaremos as relações do movimento harmônico simples e conservação de energia.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar a conservação da energia mecânica no sistema massa-mola, que é essencial aqui. Em movimento sem atrito, a energia total
é constante e é soma de energia cinética
e potencial elástica
:
Explicando cada termo:
-
é a massa do bloco. -
é a velocidade do bloco em um dado instante. -
é a constante elástica da mola. -
é a posição instantânea medida a partir da origem (ponto de equilíbrio).
As fórmulas são
e
No instante inicial
temos
e
, logo a energia total inicial é
Essa energia se conserva durante a oscilação.
Passo 3
Agora usemos a condição pedida: queremos o instante em que a energia cinética é igual à energia potencial elástica da mola. Escrevendo isso:
Usando as expressões,
Podemos também usar conservação de energia para expressar
em função de
. Da conservação:
Isolando
obtemos
Passo 4
Agora imponha
usando a expressão acima:
Cancelamos
(não nulo) e obtemos
Somando
dos dois lados:
Logo a posição
que satisfaz a condição é
Isto responde a parte da pergunta (b): a distância da origem no instante procurado é
. (Escolhemos o valor positivo porque a distância é solicitada.)
Passo 5
Agora precisamos do tempo correspondente a essa posição. Para isso usamos a solução do movimento harmônico simples quando o bloco é liberado de
com
. A solução da posição é
onde
é a frequência angular. Explicando:
-
relaciona-se com o período por . -
dá a posição no tempo medida a partir da origem; a condição garante o fator .
Passo 6
Imponha
. Substituindo na expressão do movimento:
Cancelando
(assumimos
):
Sabemos que
ocorre para
ou
. Como buscamos o primeiro instante positivo após a liberação
, tomamos a menor solução positiva:
Passo 7
Agora isolamos
. Usando
,
Fazendo a conta passo a passo:
Portanto o instante pedido, em função do período
, é
. Essa é a primeira vez que
após a liberação (há repetições periódicas a cada meio período apropriado, mas a menor
é
).
Resposta
(a)
(b)
(b)