9-36 Calcule a integral.
integral0^0,3 x(9-25 x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I=integral0^0,3 xl(9-25x^2r)^3/2,dx
Conteúdo: técnicas de integração por substituição. Vamos usar uma substituição que aproveite o fato de a derivada de 9-25x^2 envolver x.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 9 - 25x^2 Longrightarrow du = -50x,dx Longrightarrow x,dx = -150,du
Então a integral vira
I = integralu(0)^u(0,3) 1u^3/2l(-150r),du = -150 integral9^9-25(0,3)^2 u^-3/2,du

Passo 3

Calculando os limites em u:
u(0)=9-25cdot0^2=9, u(0,3)=9-25cdot(0,3)^2=9-25cdot0,09=9-2,25=6,75
E a integral de u^-3/2 é
integral u^-3/2,du = u^-1/2-1/2 = -2 u^-1/2

Passo 4

Portanto
I = -150 l[-2u^-1/2r]9^6,75 = 250 l[u^-1/2r]9^6,75 = 125 l[1raizur]9^6,75

Passo 5

Substituindo os valores de u:
Para u=6,75:
125raiz6,75 = 125,3raiz32 = 275raiz3
Para u=9:
125raiz9 = 125cdot3 = 175
Logo
I = 275raiz3 - 175

Passo 6

Podemos também escrever em forma racionalizada:
$$\frac{2}{75\sqrt3} = \frac{2\sqrt3}{75\cdot3} = \frac{2\sqrt3}{225},\quad \frac{1}{75}=\frac{3}{225}.
$$
Então
275raiz3 = 2raiz375cdot3 = 2raiz3225, 175=3225

Resposta

275raiz3 - 175, que também pode ser escrita como 2raiz3 - 3225.

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